21.М - монотонные функции.

Класс М монотонных функций.Будем говорить, что двоичный набор предшествует двоичному набору , и записывать , если имеют место покомпонентные неравенства . Легко видеть, что предшествование является отношением частичного порядка.

Логическую функцию будем называтьмонотонной, если для любых двух наборов и таких, что , выполненоf()f(). Класс всех монотонных функций обозначим через М. Он содержит, в частности, функции 0,1,x, &,, а функции , ,,ему не принадлежат.

Рассмотрим суперпозицию (1.8) монотонных функций g и ,..., . Пусть и - произвольные двоичные наборы длиныnи такие, что . Положим =, (i =1,…,k) и , =(). Из монотонности функций вытекает, что и, следовательно,. С учетом этого и монотонности функцииgполучаем

.

Итак, и замкнутость классаМ установлена. Достаточно простой метод распознавания монотонности будет изложен в §2.4.

22.L - линейные функции.

Класс L линейных функций.Всякая логическая функция может быть единственным образом представлена в виде полинома Жегалкина. Функции, для которых полином Жегалкина имеет степень не выше первой (т. е. содержит конъюнкции длины не более 1), называютсялинейными. КлассL всех линейных функций содержит, в частности, функции , а функции , , ему не принадлежат.

Всякая линейная функция может быть записана в виде

,

где (i=0,1,…,n). Легко видеть, что коэффициенты (i=0,1,…,n) связаны со значениями функции следующим образом:

На основе этого может быть предложен следующий способ распознавания линейности. По приведенным формулам нужно вычислить коэффициенты . Если функция реализуется полиномом , то она линейна, а в противном случае — нелинейна.

Замкнутость класса линейных функций вытекает из того, что суперпозиция полиномов не выше первой степени снова дает полином не выше первой степени.

Помимо приведенных 5 замкнутых классов существуют и другие. Это следует, например, из того, что пересечение замкнутых классов снова образует замкнутый класс. Но, как мы увидим дальше, классы, , S,МиL играют решающую роль в вопросах полноты.

Критерий полноты.

23. Доказательство утверждения о несамодвойственной функции.

.Из всякой несамодвойственной функции путем подстановки функций и можно получить одну из констант. Действительно, из несамодвойственностиf следует, что существует набор , для которого . Положим , тогда

,

и, следовательно, g(x)совпадает с одной из констант.

24. Доказательство утверждения о немонотонной функции.

. Из всякой немонотонной функции путем подстановки констант 0 и 1и функции можно получить функцию. Для немонотонной функцииf найдутся наборы и такие, чтои . Образуем функциюg(x),подставив в на место тех переменных, которым соответствуют одинаковые разряды наборов и , значения соответствующих разрядов, а на место остальных переменных — функцию . С учетом условия заключаем, что .

Последнее означает, что g(0) = 1 иg(1) = 10 Таким образом,g(x)совпадает с.

25. Доказательство утверждения о нелинейной функции.

.Из всякой нелинейной функции путем подстановки констант можно получить нелинейную функцию двух аргументов. Для доказательства рассмотрим полином Жегалкина , реализующий функцию . В силу нелинейности в нем найдется член, содержащий не менее двух множителей (без ограничения общности можно считать, что среди множителей есть и ). Путем вынесения за скобки преобразуем полином к виду

.

Поскольку полином имеет вид, отличный от 0, он реализует функцию, не являющуюся тождественным нулем (в силу единственности полинома). Поэтому найдется набор констант , для которых . Функция

является нелинейной.

Сформулируем и докажем основной результат.