30. Доказательство теоремы о равенстве значений вероятностной функции со значением действительного многочлена от вероятностей р1,р2,…,рn.
Утверждение. ( Осовпадении многочленов Ff иDf).Для всякой двоичной функцииf(x1, …, xn)и произвольных чиселp1,…,pn, 0 pi 1, i[1,n] выполняется тождественное равенство:
Ff(p1, p2, …, pn)=Df(p1, p2, …, pn)
Доказательство. Проведем доказательство
индукцией по числу переменных функции
f(x).
Еслиn=1,то существует четыре функции:f0(x1)0;
f1(x1)=x1;
f2(x1)=
f3(x1)1.
Для них имеем
P(f0(x1)=1)=P(0=1)=0
P(f1(x1)=1)=P(x1=1)=p1
P(f2(x1)=1)=P(
=1-p1
P(f3(x1)=1)=P(1=1)=1
Допустим теперь, что утверждение верно для всех функций от (n-1)переменной и покажем его справедливость для функцииf(x1,…,xn) отnпеременных. Разложим функцию по первой переменной
f(x1,…,xn)=
Положим
f0=f(0,x2,…,xn), f1=f(1,x2,…,xn)
По предположению имеем
;
В силу однозначности представления действительного многочлена двоичной функции ,имеем
Df(x1,…,xn)=
В то же время имеем
Ff(p1,…,pn)=P(x1=1)P(f1=1)+P(x1=0)P(f0=1)=
=p1
=Df(p1,…,pn)
Утверждение доказано.
Согласно доказанному утверждению для следующих элементарных функций имеем
P(x1x2=1)=p1p2
P(x1x2=1)=p1+p2-p1p2
P(x1x2=1)=p1+p2-2p1p2
P(
)=1-p1
В случае, когда вероятности pi, i[1,n] совпадают, вероятностную функцию можно вычислить используя табличное задание двоичной функции не вычисляя действительного многочлена. Пустьp1=p2=…=pn=pсгруппируем строки в таблице функцииf(x)так, чтобы векторы с одинаковым числом единиц оказались в одной группе. Множество всех векторов с одинаковым числомiединиц называютi-м уровнем,i[1,n]. Все векторы i-го уровня имеют одинаковые вероятности, равные pi(1-p)n-i, i[1,n]. Поэтому вероятностная функция может быть записана в виде
где bi - число векторов наi-м уровне, на которых функцияf(x)принимает значение "1".Вектор(b1,…,bn) называют распределением весов на уровнях функцииf(x).Очевидно
есть число двоичных наборов, на которых функция f(x) принимает значение равное "1
Положим p1=p2=…=pn=
. Число показывает, насколько отклоняется
от равновероятного случая распределение
аргументов функцииf(x),и его называютпреобладанием.Преобладанием для распределения
значений двоичной функции называют
величину(),где
Ff
Докажите самостоятельно следующее равенство
()= 1 + 2 2 + …+n n
где
-
некоторые рациональные коэффициенты.
Равновероятные двоичные функции называются к - выравнивающими ,если1=2=…=k-1=0, k0 и, следовательно, для них
()= k(k+k+1 + …+n n-k)=O( k)
В ряде случаев данное понятие используют и в случае различных значений вероятностей p1,…,p2.Именно, функциюf(x) называютк -выравнивающей ,если в многочлене
Ff(p1,p2,…,pn)=Df
от переменных 1,2,
…,n
все одночлены будут иметь
степень не меньшек, где
определены
из равенства
=1/2+
Спектральное разложение двоичных функций.
31. Доказательство ортогональности функций { (-1)(а,х), аn
Сопоставим каждому двоичному вектору a= (a1, …, an)Î F2n линейную двоичную функцию(а, x)= a1x1Å …Å anxn ,и определим функции
Покажите ,что2n функций вида (-1)(a,x)образуют ортогональную систему.
32. Доказательство теоремы о представлении двоичной функции рядом Фурье.Представление булевых и псевдобулевых функций через базисы линейных пространств.
Утверждение. (О разложении в ряд Фурье). Для. всякой двоичной функции имеется единственное разложение вида
f(x)=
f (x1,
…, xn)=
где Caf - рациональные числа.
При этом
Доказательство. Докажем сначала, что указанный ряд представляет функцию f(x). Имеем
поскольку в последней сумме будет только одно ненулевое слагаемое при y=x.
Покажем теперь, что коэффициенты Cafоднозначно определяются по функцииf(x).Предположим, что существует другое разложение
Тогда
Домножив обе части этого равенства на (-1)(b,x)дляbÎF2n и просуммировав поxÎF2n полученные равенства, имеем
Отсюда
.Так какb -
произвольный вектор изFcn,получаем требуемое утверждение.