28. Доказательство теоремы об однозначном представлении двоичной функции в виде действительного многочлена.

Имея это в виду ,докажем, что любая двоичная функцияf(x₁,x₂,…,x_n)од­нозначно представляется в виде следующего действительного мно­гочлена

D_f (x₁,…,x_n)= a₀    … a_1,2,…,nx₁x₂…x_n

где все коэффициенты являются целыми числами.

Покажем, что по таблице двоичной функции однозначно опре­деляются коэффициенты a₀, a_i, a_ij,…, a_1,2,…nее действительного многочлена. Воспользуемся методом неопределенных коэффици­ентов. Последовательно вычислим значения искомого действитель­ного многочлена на наборе из одних нулей, затем на наборах о одной единицей, затем с двумя ,и т.д.. В результате получим

f(0, 0, …, 0)= a₀

f(1, 0, …, 0)= a₀+ a₁

^{………………………………………..}

f(0, 0, …, 0, 1)= a₀+ a_n

f(1, 1, 0, …, 0)= a₀+ a₁+ a₂+ a₁₂

^{……………………………………….….}

f(1, 1, …, 1)= a₀+   … a_12…n

Из первого уравнения находим a₀,из второгоa₁, … , из (n+1)-гoуравнения находима_n ,из(n+2)-го – а₁₂ , ... , из последнего находима_1,2,…,n .Таким образом, значения двоичной функции однозначно определяют коэффициенты многочленаD_f .

29. Понятие вероятностной функции двоичной функции.

Вероятностная функция двоичной функции.

Будем считать, что значения переменных x₁, x₂, …, x_nдвоичной функцииf(x₁, …, x_n) являются независимыми случайными величина­ми с распределением

P (x_i=1)= P_i

P (x_i=0)= 1-P_i, 0  P_i  1, i[1,n]

Тогда значение функции f(x)=f(x₁, …, x_n) будет случайной величиной, распределение которой определяется значением ве­роятности

P (f(x)=1)= F_f(p₁, p₂, …, p_n)

Функция F_fназываетсявероятностной функцией двоичной функции f(x) .Легко видеть, что

F_f(p₁, p₂, …, p_n)=

и

P(x=a)=

для a=(a₁, a₂,…, a_n)F₂ⁿ. Поэтому вероятностная функция F_f(p₁, …, p_n) является многочленом от переменных p₁, …, p_nс целыми коэффициентами. Следующее утверждение показывает ,что вероятностная функция, рассматриваемая как многочлен, совпадает с дейст­вительным многочленомD_fдвоичной функцииf(x).

Утверждение. ( Осовпадении многочленов F_f иD_f).Для всякой двоичной функцииf(x₁, …, x_n)и произвольных чиселp₁,…,p_n, 0  p_i  1, i[1,n] выполняется тождественное равенство:

F_f(p₁, p₂, …, p_n)=D_f(p₁, p₂, …, p_n)

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по числу переменных функции f(x). Еслиn=1,то существует четыре функции:f₀(x₁)0; f₁(x₁)=x₁; f₂(x₁)=f₃(x₁)1. Для них имеем

P(f₀(x₁)=1)=P(0=1)=0

P(f₁(x₁)=1)=P(x₁=1)=p₁

P(f₂(x₁)=1)=P(=1-p₁

P(f₃(x₁)=1)=P(1=1)=1

Допустим теперь, что утверждение верно для всех функций от (n-1)переменной и покажем его справедливость для функ­цииf(x₁,…,x_n) отnпеременных. Разложим функцию по первой переменной

f(x₁,…,x_n)=

Положим

f₀=f(0,x₂,…,x_n), f₁=f(1,x₂,…,x_n)

По предположению имеем

;

В силу однозначности представления действительного мно­гочлена двоичной функции ,имеем

D_f(x₁,…,x_n)=

В то же время имеем

F_f(p₁,…,p_n)=P(x₁=1)P(f₁=1)+P(x₁=0)P(f₀=1)=

=p₁=D_f(p₁,…,p_n)

Утверждение доказано.

Согласно доказанному утверждению для следующих элементар­ных функций имеем

P(x₁x2=1)=p₁p₂

P(x₁x₂=1)=p₁+p₂-p₁p₂

P(x₁x₂=1)=p₁+p₂-2p₁p₂

P()=1-p₁

В случае, когда вероятности p_i, i[1,n] совпадают, вероят­ностную функцию можно вычислить используя табличное задание двоичной функции не вычисляя действительного многочлена. Пустьp₁=p₂=…=p_n=pсгруппируем строки в таблице функцииf(x)так, что­бы векторы с одинаковым числом единиц оказались в одной груп­пе. Множество всех векторов с одинаковым числомiединиц называютi-м уровнем,i[1,n]. Все векторы i-го уровня имеют одинаковые вероятности, равные pⁱ(1-p)^n-i, i[1,n]. Поэтому вероятностная функция может быть записана в виде

где b_i - число векторов наi-м уровне, на которых функ­цияf(x)принимает значение "1".Вектор(b₁,…,b_n) называют распределением весов на уровнях функцииf(x).Оче­видно

есть число двоичных наборов, на которых функция f(x) принима­ет значение равное "1

Положим p₁=p₂=…=p_n= . Число показывает, насколь­ко отклоняется от равновероятного случая распределение ар­гументов функцииf(x),и его называютпреобладанием.Преоб­ладанием для распределения значений двоичной функции на­зывают величину(),где

F_f

Докажите самостоятельно следующее равенство

()= ₁ + ₂ ² + …+_n ⁿ

где - некоторые рациональные коэффициенты.

Равновероятные двоичные функции называются к - выравни­вающими ,если₁=₂=…=_k-1=0, _k0 и, следовательно, для них

()= ^k(_k+_k+1 + …+_n ^n-k)=O( ^k)

В ряде случаев данное понятие используют и в случае раз­личных значений вероятностей p₁,…,p₂.Именно, функциюf(x) называютк -выравнивающей ,если в многочлене

F_f(p₁,p₂,…,p_n)=D_f

от переменных ₁,₂, …,_n все одночлены будут иметь степень не меньшек, гдеопределены из равенства=1/2+