26. Доказательство критерия о полноте класса функций.

Теорема 1.4(о функциональной полноте).Базис является полным тогда и только тогда, когда он целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов, , S,МиL.

Доказательство.Если базис целиком принадлежит одному из перечисленных классов, то в силу того, что классы замкнуты и содержат тождественные функцииx, формулами над могут быть реализованы лишь функции из данного класса. Но ни один из этих классов не содержит всех логических функций. Следовательно, базис неполон.

Докажем теперь, что базис , целиком не содержащийся ни в одном из классов , , S, М,L, является полным.

Установим вначале, что формулами над могут быть реализованы константы 0 и 1. В базисе имеется функцияg,не сохраняющая 0, т. е. такая, чтоg(0,…,0)=1. Вычислим ее значение на наборе из единиц.

а) Если окажется, что g(1,..., 1) = 1, то функция (х) =g(х,...,х) является константой 1 (ибо (0)= g(0,...,0) = 1, (1)=g(1,...,1) = 1). Вторую константу получим, взяв в функцию, не сохраняющую 1, и подставив вместо ее аргументов функцию 1=(х).

б) Если g(1,...,1)=0, то функция (х) = g(x,...,х) совпадает с (ибо (0) =g(0,..., 0) = 1, (1)=g(1,..., 1) = 0). С помощью и содержащейся в несамодвойственной функции на основании вспомогательного утверждения получим одну из констант. Из нее с использованием образуем вторую константу.

Тем самым возможность реализации констант установлена.

Имея константы, на основе вспомогательных утверждений и из немонотонной функции получим , а из нелинейной функций — нелинейную функцию двух аргументов

.

Преобразуем последнюю:

.

Подставив вместо и функции и (отрицание у нас есть), получим функцию , если , либо функцию , если . Полнота базиса вытекает в первом случае из полноты системы {&,}, а во втором — из полноты штриха Шеффера.

Вопросы полноты. Базис называетсяполным, если формулами над реализуются все функцииk-значной логики. Из представления (1.10) следует, что множество функций

{0,1,..., k-1,} образует полную систему. При любом имеются полные базисы из одной функции. Таким, в частности, является базис, состоящий изфункции Вебба:

(этот факт сообщаем без доказательства). При = 2 функция Вебба совпадает со стрелкой Пирса, ибо

.

Приведем также без доказательства теорему о функциональной полноте для -значного случая.

Теорема 1.5(А. В.Кузнецов). При любом 2можно построить такую конечную систему замкнутых классов функций -значной логики, что базис полон тогда и только тогда, когда он целиком не содержится ни в одном из этих классов.

Определение замкнутого класса дается так же, как и в двузначном случае. Отметим, что число (), участвующее в формулировке теоремы, быстро растет с ростом .

Доказательства фактов, приведенных в данном параграфе, и некоторые дальнейшие результаты содержатся в [11] (раздел 1).

Изложенный выше математический аппарат дает удобные средства для описания дискретных устройств.

Параметры булевых функций.

27. Понятие действительного многочлена двоичной функции. Примеры для функций от двух переменных.

I)Основные понятия.

Многочленом Жегалкина(приведенным многочленом) называется представление двоичной функцииf(x₁,x₂,…,x_n)отnпеременных формулой вида

f(x₁,x₂,…,x_n) = a₀    … a_1,2,…,nx₁x₂…x_n

где a₀, a₁, …, a_n, a_1,2,…, a_1,2,…n F₂

Ранее в курсе логики было доказано ,что для каждой дво­ичной функции существует единственный многочлен Жегалкина.

Конъюнкции ,входящие в многочлен Жегалкина, назы­ваютсяодночленами. Степенью одночленаназывается число входящих в него переменных (ранг конъюнкции).Степенью не­линейности (порядком) многочлена Жегалкина функцииf (обозначаетсяdeg f )называют максимальную из степеней вхо­дящих в него одночленов.

Двоичные функции можно задавать многочленами, в которых используются операции сложения, вычитания и умножения дейст­вительных чисел. Так непосредственной проверкой легко убе­диться, что двоичные функции x₁x₂, x₁x₂, x₁x₂, представимы в виде действительных многочленов

x₁x₂= x₁ x₂

x₁x₂= x₁+ x₂ – x₁ x₂

x₁x₂= x₁+ x₂ –2 x₁ x₂

= 1- x₁

Поскольку каждую двоичную функцию можно задать своим мно­гочленом Жегалкина ,совершенной дизъюнктивной нормальной формой или совершенной конъюнктивной нормальной формой, то заменив все используемые в этих формулах операции на их выражения по приведенным выше формулам и раскрыв затем скобки получим для всякой двоичной функции эквивалентную запись в виде некоторого действительного многочлена. Представление двоичной функции в виде действительного многочлена вообще говоря неоднозначно. Так ,например,

= 1- x₁= 1- 2x₁- x₁²= 1- x₁²= 1- 3x₁² - 2x₁⁴= …

Если отказаться от использования в действительном многоч­лене двоичной функции переменных в степенях выше первой, то неоднозначность представления двоичных функций в такой фор­ме можно исключить. В связи с этим в дальнейшем говоря о дей­ствительном многочлене двоичной функции, мы будем считать,чтопеременные его входят в степенях не выше первой