Лекции / 1-й семестр / ALG#01
.DOCЭлементы теории множеств.
Бинарное отношение на множестве Х – любое подмножество декартового квадрата множества Х. .
Декартово произведение множеств: , для n множеств .
Если то ~ .
Свойства бинарного отношения:
-
Рефлексивность:
-
Симметричность:
-
Транзитивность:
-
Ассимитричность:
Отношение эквивалентности: если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Отношение порядка: если оно рефлексивно, транзитивно, ассимитрично.
(Строгого порядка – если 3.)
Пример 1: отношение равенства – отношение эквивалентности.
Пример 2: Множество действительных чисел с оператором - отношение порядка.
Пример 3: R с < - выполняется только 3.
Пример 4: Выполняется 3, 4 и не выполняется 1, 2.
X={1,2,3}; p={(1,2),(2,3),(1,3)}
4 выполняется автоматически, так как нет пар (a,b),(b,a).
Теорема 1:
Опр: Пусть р – отношение эквивалентности на Х, тогда множество элементов - класс эквивалентных элементов для элемента а по отношению р.
-
Пусть р – отношение эквивалентности на Х, тогда множество Х представляется в виде пересечения попарно не пересекающихся классов эквивалентности.
-
Любое разбиение множества Х на не пересекающиеся подмножества задает отношение эквивалентности на Х.
Доказательство: Докажем, что если два класса эквивалентности пересекаются, то они совпадают. Этого будет достаточно.
От противного: Пусть
В другую сторону: Пусть
Определим отношение эквивалентности:
- покажем, что это отношение эквивалентности:
-
- рефлексивное
-
Пусть - симметричное
-
Транзитивность: Пустьт.к. по условию все не пересекаются попарно.
Будем говорить, что а делится на в с остатком, если .
Будем говорить, что a, b – сравнимы по mod n, если остатки от деления a, b на n совпадают:
Отношение сравнимости по любому mod n на множестве Z – отношение эквивалентности.
Основные алгебраические структуры.
Опр: Отображение множества Х в множество Y – закон по которому каждому ставится в соответствие некоторый .
Заметим, что бинарное отношение .
Свойства отображений:
-
Сюръективность.
-
Инъективность.
-
Биективность.
Опр: Бинарная операция на множестве Х – отображение декартового квадрата множества Х в себя:
Свойства операций:
-
Коммутативность (обозначим +): , если .
-
Ассоциативность (*):
-
Дистрибутивность (*,0):
Опр: Множество Х с бинарной операцией * - полугруппа (Хб*)
-
Пример (N,)
Опр: Пусть (Х,*) – полугруппа, элемент е-еденичный, если
Опр: Для элемент - обратный, если
Опр: Полугруппа (Х,*) – группа, если существует е относительно * и для каждого
Пример: (Z,+)
Опр: Пусть на множестве Х введены две операции: (Х,+,0) – множество Х с двумя бинарными операциями – кольцо, если:
-
(Х,+) – абелева группа.
-
- дистрибутивно относительно +.
Пример: (Z,+,) – множество квадратных матриц (nxn) над полем Z.
Опр: Поле – коммутативное кольцо с е, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный по умолчанию.
Опр: Гомоморфизм – группы - такое отображение множества G в K, при котором . Если - биективное отображение GK, то - изоморфизм группы и гомоморфизм колец
Утв: Пусть - изоморфизм тогда:
Доказательство:
-
Пусть , т.к. - биекция.
-
Опр: Конгруэнция на множестве Х с операцией * - (Х,*) – отношение эквивалентности р на Х со свойствами: . Говорят, что отношение р согласовано с операцией *.
Утв: Пусть р – отношение эквивалентности на множестве (Х,*), тогда определим операцию на классах эквивалентности, положив результат: [a]p*[b]p=[a*b]p, тогда данная операция определена корректно, т.е. не зависит от выбора элементов из [a]p, [b]p.
Доказательство: Пусть надо показать, что [x*y]p=[a*b]p.
, т.к. р – конгруэнция , т.к. р – отношение эквивалентности, а по Т1
Теорема: Пусть - гоморфизм тогда:
-
- группа
-
р на G вида: конгруэнция
-
, тогда (* - оператор на классах)
Доказательство:
-
-
, т.е. задана операция.
-
Она ассоциативна т.к. , а К – группа
-
- единица
-
-
р – отношение эквивалентности на G:
-
- рефлективное
-
-
- транзитивность
-
Проверим согласованность р со *:
т.к р – конгруэнция.
-
, где - покажем что это отображение задано корректно:
-
, т.е. отображение задано корректно.
-
- изоморфизм?
-
, т.е. - гомоморфизм.
-
Суръективность:
-
Инъективность:
От противного: Пусть - изоморфизм
Следствие: - группа, т.к. изоморфно
Элементы теории групп.
Опр: Пусть - группа: е – определен однозначно и - однозначен.
Доказательство:
-
Пусть е1, е2 – единичные элементы, тогда е1=е1*е2=е2
-
обратные к х, тогда х*х1=е, х*х2=е => х*х1=х*х2
Опр: Пусть - группа, тогда Н – подгруппа группы G, если:
-
-
- сама группа.
Пример: Z<Q<R<C
Теорема: Пусть - группа, тогда подмножество H<G - “Критерий быть подгруппой”.
Доказательство:
-
- группа
-
Обратно:
-
т.к. ассоциативность из G в Н, т.е
-
е группы . Пусть a=e, b=x
-
Замкнутость: Пусть
-
Теорема: Множество G с внутренней бинарной ассоциативной операцией – группа. Тогда, когда в этом множестве однозначно разрешимы уравнения: ax=b, ya=b.
Доказательство:
-
ax=b; - однозначно, т.к. - однозначны.
-
Обратно:
-
Пусть bx=b, т.к е1 – решение этого уравнения
-
, т.е оба решения совпадают: е1=е2=е, т.е.
-
- решения. Покажем, что
-
т.е.
-
единственность е и , т.к. уравнения разрешимы однозначно: ах=а, е – решение => е – однозначно, ах=е, - решение => - однозначно.
Свойства отображений конечных множеств.
Пусть - множество, .
Опр: Пусть - отображения - композиция если т.е. ; т.е.
Произведение отображений: - полугруппа.
Утв: Операция: композиция отображения – на некотором множестве - ассоциативна, т.е. .
Док-во:
т.е. отображения совпадают.
Следствие: Множество (Ф,о) – полугруппа с е. е тождественное отображение.
Теорема: Пусть В – множество взаимно однозначных отображений множества , т.е. (В,о) => (В,о) – группа.
Док-во:
-
(В,о) – полугруппа
-
Отображение элементов? Пусть если .
Задача: Равенство – БО, удовлетворяющее 1 – 4?
Задача: БО не удовлетворяет 1 – 4? X={1, 2, 3}; p={(1,1),(2,3),(3,2),(1,3)}.
-
Не выполняется т.к. нет (2,2) – хотя бы.
-
Не выполняется т.к. нет (3,1) – хотя бы.
-
Не выполняется т.к. нет (1,3),(3,2) => (1,2)
-
Не выполняется т.к. нет (3,2),(2,3) => (2,2)
Задача: Мультипликативная группа положительных вещественных чисел изоморфна аддитивной группе всех вещественных чисел?
-
- изоморфизм, или f(x)=lnx; ln(x+y)=lnx+lny.
-
- группа по сложению. По умножению нет! (не замкнута).
Задача: Доказать, что множество с операцией - остаток от деления на n.
-
Замкнутость очевидна т.к. res < n.
-
Ассоциативность:
а т.к.
-
e - ? => e=0, т.к.
-
Обратно: е=0, т.к. т.к.
Задача: Изоморфизм этой группы с группой всех корней энной степени из 1.
Пусть
-
Взаимное соответствие – в обоих по n элементов.
-
Задача: , если , то группа кососимметрична, иначе не кососимметрична.
-
Пусть , тогда либо либо
-
Пусть , тогда не кососимметрична.
Задача: Доказать, что - инъективное, суръективное, биективное => - взаимно однозначное.
-
Аналогично второму.
-
Пусть - суръективно тогда надо доказать инъективность: Пусть не инъективное т.к. а с другой стороны - противоречит.
Пример1: - инъективно, но не серъективно.
Пример2: - суръективно, но не инъективно.