Из строки (7):

a₂(²++1)+q²+1=0 => a₂=

Из строки (6):

a₁q²+a₂(q²+q)+q²+q=0

a₁q²+(q²+q)+q²+q=0

a₁q²++1+²+q²+q=0

a₁q²=1 => a₁=q²+q+1

Из строки (5):

a₀(q²+q)+a₁q²+a₂q²+q²+1=0

a₀(q²+q)+(q²+q+1)q²+*q²+q²+1=0

a₀(²+)+1++1+²+1=0

a₀(q²+q)+q²+q+1=0 => a₀=

Из строки (4):

C₂²+a₀(+1)+a₁(²+1)+q²+q=0

C₂q²+(q+1)+(q²+q+1)(q²+1)+q²+q=0

C₂q²+q²+q+q²+q+q²+q=0

C₂q²+q²+q=0 => C₂=q²

Из строки (3):

C₀+a₀(+1)+a₁²=0

C₀+(q+1)+(q²+q+1)q²=0

C₀+q²+q+1=0 => C₀=q²+q+1

Из строки (2):

C₁+C₀+a₀(+1)+a₁+a₂+²+1=0

C₁+C₀+(+1)+(²++1)+*+²+1=0

C₁+²++1+²++²+1+²+q²+1=0 => C₁=²+1

Из строки (1):

C₃+C₀+C₂+a₀+1=0

C₃+²++1+²++1=0 => C₃=0

Тогда

u(i)=²++1+(²+1)i+²(+1)ⁱ+*tr₈⁵¹²(aⁱ)+(q²+q+1)tr₈⁵¹²(aⁱ⁺¹)+*tr₈⁵¹²(aⁱ⁺²)

Проверка:

u(0)=q²+q+1+q²+q*tr₈⁵¹²(a⁰)+(q²+q+1)tr₈⁵¹²(a)+q*tr₈⁵¹²(a²)=q²+q+1+q²+=1

u(1)=q²+q+1+q²+1+q²(q+1)+q*tr₈⁵¹²(a)+(q²+q+1)tr₈⁵¹²(a²)+q*tr₈⁵¹²(a³)=²++1+²+1+

+²(+1)+²=1

u(2)=q²+q+1+q²(^)+q*tr₈⁵¹²(a²)+(q²+q+1)tr₈⁵¹²(a³)+q*tr₈⁵¹²(a⁴)=q²+q+1+q²(^)+

+(q²+q+1)=²++1+⁴+²+³+²+=0

u(3)=q²+q+1+q²+1+q²(^)+q*tr₈⁵¹²(a³)+(q²+q+1)tr₈⁵¹²(a⁴)+q*tr₈⁵¹²(a⁵)=²++1+²+1+

+²*²+*+*=² и т.д.

Найдём u(237).

u(237)=²++1+²+1+²(+1)²³⁷+*tr₈⁵¹²(a²³⁷)+(q²+q+1)tr₈⁵¹²(a²³⁸)+*tr₈⁵¹²(a²³⁹)

^^^^^

^^^^^

^^^^^^^^^

^^^^

^^^^^

^^^^^

^^^^^

^^^^^^^^^^

^^^^^^^

^^^^

tr₈⁵¹²(a²³⁷)=^^^^^^^^^+^^^+

+^^^=+1

tr₈⁵¹²(a²³⁸)=^^^^^^^^^+^^^^+^^=1

tr₈⁵¹²(a²³⁹)=^^^^^^^^^+^^+^^^^=1

Тогда

u(237)=²++1+²+1+²(+1)+(+1)+q²+q+1+=^^^^

u(237)=²+

Задача 2.

Найти G(x): v(x)=G(x)*u, v(0, 6)=()

Решение:

F(x)=(x⁵+x²+x+)(x²+x(²+)+²)=x⁷+x⁴+x³+x²+(²+)x⁶+(²+)x³+(²+)x²+(²++)x+²x⁵+³x²+²x+³=x⁷+(²+)x⁶+²x⁵+x⁴+(²+)x³+(²++1)x²+(+1)x++1

Тогда

u(i+7)=(+1)u(i)+(+1)u(i+1)+(²++1)u(i+2)+(²+)u(i+3)+u(i+4)+²u(i+5)+

+(²+)u(i+6)

u(7)=^^^^

u(8)=^^^^^

u(9^^q²+q^^^

u(10)=^q²+q)^^^^

u(11)=q²+q+1^^^q²+q^^

u(12)=^q²+q^^^^

G(x)=g₆ x⁶+g₅ x⁵+g₄ x⁴+g₃ x³+g₂ x²+g₁ x+g₀

Выпишем систему:

g₀+g₁+²g₃+²g₆=

g₀+²g₂+²g₅=1

²g₁+q²g₄+q²g₆=0

q²g₀+q²g₃+q²g₅+g₆=

ïq²g₂+q²g₄+g₅+g₆=0

ïq²g₁+q²g₃+g₄+g₅+g₆=0

²g₀+q²g₂+g₃+g₄+g₅+(q²+1)g₆=q

Составим матрицу:

g₀ g₁ g₂ g₃ g₄ g₅ g₆ v

    ^   ^   

   ^   ^    

  ^   ^  ^   

 ^   ^  ^    ^

   ^  ^     

  ^  ^      

 ^  ^   ^   ^

    ^   ^   

   ^ ^  ^ ^  

  ^   ^  ^   ^

  ^    ^^   ^

   ^  ^     

  ^  ^      ^

  ^ ^^     ^

    ^   ^   

   ^ ^  ^ ^  

  ^^ ^^  ^ 

  ^ ^    ^ 

   ^  ^     ^

  ^   ^^ ^ 

     ^^ ^ ^

    ^   ^   

   ^ ^  ^ ^  

  ^^ ^^  ^ 

     ^ ^   

    ^^^^  

    ^^ ^   

   ^^    ^

    ^   ^   

   ^ ^  ^ ^  

  ^^ ^^  ^ 

     ^ ^   

    ^^    

    ^    

     ^ ^ 

    ^   ^   

   ^ ^  ^ ^  

  ^^ ^^  ^ 

     ^ ^   

    ^^    

     ^   

      ^ ^ 

g₀ g₁ g₂ g₃ g₄ g₅ g₆ v

    ^   ^    

   ^ ^  ^ ^   

  ^^ ^^  ^  

     ^ ^    

    ^^     

     ^    

           

Из строки (7) следует, что решений 8.

Пусть g₆=0. Тогда из строки (6) следует

^g₅  g₅^

Из строки (5):

g₄(²+)+(^(^

g₄(²+)^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^^

g₃q^  g₃

Из строки (3):

g₂(²+)+(^^^(^(^^

g₂(q²+q)+^^^

g₂(q²+q)^  g₂^

Из строки (2):

g₁+^(^^^(^

g₁+^  g₁^

Из строки (1):

g₀+^^  g₀

Тогда G(x)=(^) x⁵+^ x⁴+(1) x³+(^) x²+^ x+1

Проверка.

^^верно.

^q²+q+1^q²+q+1  верно и т.д.

Пусть g₆=1. Тогда из строки (6) следует

^g₅+  g₅^

Из строки (5):

g₄(²+)+(^^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^  g₃

Из строки (3):

g₂(²+)+^^^^^

g₂(q²+q)+^^  g₂

Из строки (2):

g₁+^^^  g₁^

Из строки (1):

g₀+^^^  g₀^

Тогда G(x)=x⁶+^ x⁵+^ x⁴+x³+(^)x+^

Проверка.

^^^^верно.

q^q+1^²верно и т.д.

Пусть g₆=. Тогда из строки (6) следует

^g₅+^  g₅

Из строки (5):

g₄(²+)+^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^^  g₃^

Из строки (3):

g₂(²+)+(^^^^^^

g₂(q²+q)^  g₂

Из строки (2):

g₁++^^^  g₁^

Из строки (1):

g₀+^^^  g₀^

Тогда G(x)=x⁶+x⁵+^ x⁴+^1)x³+x²+(^)x+^

Проверка.

²+^^^^верно.

^^^верно и т.д.

Пусть g₆=². Тогда из строки (6) следует

^g₅+  g₅

Из строки (5):

g₄(²+)+^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^  g₃

Из строки (3):

g₂(²+)+^^  g₂^

Из строки (2):

g₁+^^^  g₁

Из строки (1):

g₀+^  g₀^

Тогда G(x)=²x⁶+^ x⁴+(^)x²+^

Проверка.

²^²верно.

q^^q²+q - верно и т.д.

Пусть g₆=+1. Тогда из строки (6) следует

^g₅+  g₅

Из строки (5):

g₄(²+)+^^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^^  g₃^

Из строки (3):

g₂(²+)+(^^^^^

g₂(q²+q)+^^^^^^^^  g₂^

Из строки (2):

g₁+^^^^^^  g₁^

Из строки (1):

g₀+^^^^  g₀

Тогда G(x)=(+1)x⁶+ x⁵+^ x⁴+(^)x³+(^)x²+(^)x

Проверка.

²+^^^(+1)верно.

^q²+1^ верно и т.д.

Пусть g₆=²+1. Тогда из строки (6) следует

^g₅+  g₅

Из строки (5):

g₄(²+)+(^^

g₄(²+)+^^^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^^

g₃+^  g₃

Из строки (3):

g₂(²+)+(^^^^^^

g₂(q²+q)+^^^^^  g₂

Из строки (2):

g₁+^^^^^  g₁

Из строки (1):

g₀^^^  g₀

Тогда G(x)=(^)x⁶+( x⁵+^ x⁴+x³+x²+x

Проверка.

+1^^²+1)верно.

q^^+1  верно и т.д.

Пусть g₆=²+. Тогда из строки (6) следует

^g₅+^  g₅^

Из строки (5):

g₄(²+)+(^(^^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^^^

g₃q  g₃^

Из строки (3):

g₂(²+)+(^^^^(^(^^^  g₂

Из строки (2):

g₁+^(^^^(^^^  g₁

Из строки (1):

g₀+^^^^  g₀

Тогда G(x)=(^)x⁶+(^) x⁵+^ x⁴+^ x³+() x²+ x++1

Проверка.

+1^^^²+)верно.

q^+1^q²+q  верно и т.д.

Пусть g₆=²++1. Тогда из строки (6) следует

^g₅+^  g₅^

Из строки (5):

g₄(²+)+(^(^^  g₄^

Из строки (4):

g₃+^^^^  g₃^

Из строки (3):

g₂(²+)+(^^^^(^(^^^  g₂^

Из строки (2):

g₁^^^(^^^^^  g₁

Из строки (1):

g₀+^^^^  g₀^

Тогда G(x)=(^)x⁶+(^) x⁵+^ x⁴+²+ x³+^ x²+( x+^+1

Проверка.

²+1+1^^^²++1)верно.

q^^²^²+1  верно и т.д.