Вариант 37.

А=37=1*2⁵+0*2⁴+0*2³+1*2²+0*2¹+1*2⁰

a₀=1, a₁=0, a₂=1, a₃=0, a₄=0, a₅=1

N=200+37=237

Задача 1.

Найти формулу общего члена и u(237).

u – ЛРП над GF(2³) ³++1=0

F(x)=(x⁵+x²+x+)(x²+x(+²)+²)

u(0, 6)=(1, 1, 0, ², 0, 0, ²).

Решение:

F(x)=(x⁵+x²+x+)(x²+x(+²)+²) = (x+1)²(x³+x+)(x++1)(x+²+1)

_pL(F)=_pL((x+1)²)+_pL(x³+x+q)+_pL(x+q+1)+_pL(x+q²+1)

U=w₁+w₂+w₃+w₄

Найдём формулу i^-го члена последовательности.

1) 1^[0], 1^[1] – базис в _pL((x+1)²) => w₁=C₀*1^[0] + C₁*1^[1]

w₁(i)=C₀ + C₁*i

2) (+1)^[0] – базис в _pL(x++1) => w₃=C₂*(+1)^[0]

w₃(i)=C₂*(+1)ⁱ

3) (²+1)^[0] – базис в _pL(x+²+1) => w₄=C₃*(²+1)^[0]

w₄(i)=C₃*(²+1)ⁱ

4) f(x)= x³+x+

_pL(f)= _pL(x³+x+q)

³=+1

³=+, где  -- корень f(x) в GF(8³)

Так как f(x) – неприводим, используем функцию «След»

w₂(i)= tr₈⁵¹²(a*ⁱ )

a=a₀+a₁*+a₂*²

tr₈⁵¹²((a₀+a₁*+a₂*²) ⁱ )=a₀tr₈⁵¹²(aⁱ)+ a₁tr₈⁵¹²(aⁱ⁺¹)+ a₂tr₈⁵¹²(aⁱ⁺²)

Тогда

u(i)= C₀ + C₁*i+ C₂*(q+1)ⁱ+ C₃*(q²+1)ⁱ+ a₀tr₈⁵¹²(aⁱ)+ a₁tr₈⁵¹²(aⁱ⁺¹)+ a₂tr₈⁵¹²(aⁱ⁺²)

Найдём коэффициенты.

tr₈⁵¹²(y)=y+y⁸+y⁶⁴

tr₈⁵¹²(⁰)=1+1+1=1

tr₈⁵¹²(¹)=+⁸+⁶⁴=^^^^^^

tr₈⁵¹²(a²)=( tr₈⁵¹²(¹))²=0

tr₈⁵¹²(a³)=a³+a²⁴+a¹⁹²=^^^+^^^=

tr₈⁵¹²(a⁴)=(tr₈⁵¹²(¹))⁴=0

tr₈⁵¹²(a⁵)=a⁵+a⁴⁰+a³²⁰=^+^^+^=

tr₈⁵¹²(a⁶)=( tr₈⁵¹²(³))²=²

tr₈⁵¹²(a⁷)=a⁷+a⁵⁶+a⁴⁴⁸=^+^^^^+^^^^^=

tr₈⁵¹²(a⁸)=( tr₈⁵¹²(a⁴))²=0

()²=^

()³=(+1)(^)=^^^^

()⁴=(^)²=^^

()⁵=(+1)(^)=^^

()⁶=^^^

(^)²=^^

(^)³=(^)(^)=^^^^

(^)⁴=^

(^)⁵=(+1)(^)=^^^^

(^)⁶=^^^^^^

Выпишем систему:

 C₀+C₂+C₃+a₀+1=0

 C₀+C₁+C₂(+1)+C₃(²+1)+a₂+1=0

 C₀+C₂(²+1)+C₃(²++1)+a₁=0

 C₀+C₁+C₂²+C₃(²+)+a₀+a₂+²=0

ï C₀+C₂(²++1)+C₃(+1)+a₁+a₂²=0

ï C₀+C₁+C₂q+C₃q²+a₀q+a₁q²+a₂q=0

 C₀+C₂(q²+)+C₃q+a₀²+a₁q+²=0

Составим матрицу:

C₃ C₁ C₀ C₂ a₀ a₁ a₂ u

 1 0 1 1 1 0 0  1 

 ²+1 1 1 +1 0 0   1 2+1+6

 ²++1 0 1 ²+1 0  0  0 3+1+4

 ²+ 1 1 ²  0   ² 4+6+7

 +1 0 1 ²++1 0  ²  0 5+1+7

 ² 1 1   ²   0 6+1*²

  0 1 ²+ ²  0  ² 7+1*

 1 0 1 1 1 0 0  1 

 0 0 1 0 +1 ² 0  0 

 0 1 1 0 +1    ²+1 

 0 0 1 0 ² ²+ 0  0 

 0 0 1 0 q²+1 0 ²  ²+1 

 0 1 ²+1 ²+ ²+ q²   q² 6+3

 0 0 +1 ² ²+  0  q²+ 

ì 1 0 1 1 1 0 0 ï 1 ü

ï 0 1 1 0 q+1 q q ï q²+1 ï

ï 0 0 1 0 q+1 q² 0 ï 0 ï

ï 0 0 1 0 q² q²+q 0 ï 0 ï4+3

ï 0 0 1 0 q²+1 0 q² ï q²+1 ï5+3

ï 0 0 q² q²+q q²+1 q²+ 0 ï 1 ï6+3*²

î 0 0 q+1 q² q²+q q 0 ï q²+q þ7+3*(+1)

ì 1 0 1 1 1 0 0 ï 1 ü

ï 0 1 1 0 q+1 q q ï q²+1 ï

ï 0 0 1 0 q+1 q² 0 ï 0 ï

ï 0 0 0 0 q²++1 q 0 ï 0 ïна 7

ï 0 0 0 0 q²+ ² q² ï q²+1 ïна 5

ï 0 0 0 q²+q q 0 0 ï 1 ïна 6

î 0 0 0 q² q+1 q²+1 0 ï q²+q þна 4

ì 1 0 1 1 1 0 0 ï 1 ü

ï 0 1 1 0 q+1 q q ï q²+1 ï

ï 0 0 1 0 q+1 q² 0 ï 0 ï

 0 0 0 q² q+1 q²+1 0 ï q²+q 

ï 0 0 0 0 q²+ ² q² ï q²+1 ï

ï 0 0 0 q²+q q 0 0 ï 1 ï6+4*²

 0 0 0 0 q²++1 q 0 ï 0 

ì 1 0 1 1 1 0 0 ï 1 ü

ï 0 1 1 0 q+1 q q ï q²+1 ï

ï 0 0 1 0 q+1 q² 0 ï 0 ï

 0 0 0 q² q+1 q²+1 0 ï q²+q 

ï 0 0 0 0 q²+ ² q² ï q²+1 ï

ï 0 0 0 0 q²+1  0 ï ² ï6+5*²

 0 0 0 0 q²++1 q 0 ï 0 7+5*

ì 1 0 1 1 1 0 0 ï 1 ü

ï 0 1 1 0 q+1 q q ï q²+1 ï

ï 0 0 1 0 q+1 q² 0 ï 0 ï

 0 0 0 q² q+1 q²+1 0 ï q²+q 

ï 0 0 0 0 q²+ ² q² ï q²+1 ï

ï 0 0 0 0 0 ² ²+ ï ²+ ï

 0 0 0 0 0 1 +1 ï 1 7+6*(²++1)

C₃ C₁ C₀ C₂ a₀ a₁ a₂ u

ì 1 0 1 1 1 0 0 ï 1 ü (1)

ï 0 1 1 0 q+1 q q ï q²+1 ï (2)

ï 0 0 1 0 q+1 q² 0 ï 0 ï (3)

 0 0 0 q² q+1 q²+1 0 ï q²+q  (4)

ï 0 0 0 0 q²+ ² q² ï q²+1 ï (5)

ï 0 0 0 0 0 ² ²+ ï ²+ ï (6)

 0 0 0 0 0 0 ²++1  ²+1  (7)