
- •Введение
- •1. Теплопроводность
- •1.1. Температурное поле
- •1.2. Температурный градиент
- •1.3. Закон Фурье. Тепловой поток. Плотность теплового потока.
- •1.4.Коэффициент теплопроводности
- •1.5. Дифференциальное уравнение теплопроводности
- •1.6.Условия однозначности для процессов теплопроводности
- •1.7. Стационарная теплопроводность плоских стенок (q )
- •1. Граничные условия I рода
- •Граничные условия I рода б) Однослойная цилиндрическая стенка
- •Б) Многослойная цилиндрическая стенка
- •1.9. Нестационарная теплопроводность
- •1. Общие положения
- •2. Аналитическое описание процесса.
- •3. Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины.
- •3.1.Анализ полученного решения.
- •2. Конвективный теплообмен
- •2.1.Основные понятия и определения.
- •2.2. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена
- •1. Уравнение энергии.
- •2. Уравнение движения.
- •3. Уравнение сплошности.
- •4. Уравнение теплоотдачи.
- •2.3. Закон Ньютона-Рихмана. Коэффициент теплоотдачи.
- •2.4. Основы теории подобия.
- •2.5. Числа подобия и уравнения подобия
- •I. Число Нуссельта:
- •2. Число Прандтля:
- •3. Число Пекле:
- •4. Число Рейнольдса:
- •5. Число Грасгофа:
- •6. Число Фурье:
- •2.6. Определяющий размер и определяющая температура
- •3.Теплообмен излучением
- •3.1. Основные понятия и определения
- •3.2. Виды лучистых потоков
- •3.3. Законы теплового излучения
- •1.Закон Планка
- •2.Закон смещения Вина
- •3.Закон Стефана-Больцмана
- •4.Закон Кирхгофа
- •5.Закон косинусов Ламберта
- •3.4. Лучистый теплообмен между двумя параллельными поверхностями
- •3.5. Лучистый теплообмен между твердыми телами произвольной конфигурации.
- •3.6. Лучистый теплообмен при наличии экранов
- •3.7. Излучение газов
Граничные условия I рода б) Однослойная цилиндрическая стенка
Р
ассмотрим
стационарный процесс теплопроводности
в однослойной цилиндрической стенке
(трубе) с внутренним диаметром d1
= 2r1
и
наружным диаметром d2
= 2r2
(рис.6).
На поверхностях стенки заданы постоянные температуры t1 и t2. Коэффициент теплопроводности в заданном интервале температур считаем постоянным. Необходимо найти распределение температур в цилиндрической стенке и тепловой поток через нее.
Рис.6. Цилиндрическая стенка. Г.У. 1 рода.
В данной задаче дифференциальное уравнение теплопроводности удобно записать в цилиндрической системе координат. Так как qv = 0 и ∂t/∂τ = 0, то поделив правую и левую часть уравнения (19) на а получим:
(46)
Ось трубы совмещена с осью Оz, т.е. при фиксированном радиусе температура вдоль трубы не изменяется, поэтому
(а)
Кроме того, т.к. температуры на наружной и внутренней поверхностях трубы неизменны, изотермические поверхности являются цилиндрическими, имеющими с трубой общую ось. Тогда температура не должна, зависеть от угла φ, т.е.
(б)
Следовательно, t есть функция только r, т.е. температурное поле будет одномерным.
С учетом (а) и (б) уравнение (46) принимает вид:
(47)
Граничные условия:
при
при
(48)
Совместное решение (47) и (48) дает уравнение температурного поля в цилиндрической стенке.
Для решения введем новую переменную:
,
тогда
,
(в)
Подставляя (в) в уравнение (47), получим:
(49)
Домножив левую и правую часть (49) на rdr, запишем
или
(г)
Интегрируя (г), получим
(е)
Переходя к первоначальным переменным, перепишем (е) в виде:
или
(50)
Разделив переменные и проинтегрировав (50), получим:
(51)
Определим постоянные интегрирования С1 и С2, подставив в уравнение (51) граничные условия:
при
,
отсюда
при
,
отсюда
(д)
Решение уравнений (д) относительно С1 и С2 дает
,
Подставив значения С1 и С2 в уравнение (51), получим:
или
(52)
Выражение (52) представляет собой уравнение логарифмической кривой, т.е. распределение температуры по толщине цилиндрической стенки является криволинейным.
Для нахождения теплового потока, проходящего через цилиндрическую поверхность F, воспользуемся законом Фурье:
Из уравнения (50) значение температурного градиента:
Учитывая, что F = 2πrl, где l - длина трубы, получим
Заменив радиусы на диаметры, запишем:
(53)
Тепловой поток (53) может быть отнесен к единице внутренней поверхности, к единице наружной поверхности или к единице длины трубы.
При этом расчетные формулы для плотности теплового потока принимают вид:
,
(54)
где q1, Вт/м2 - плотность теплового потока для внутренней поверхности;
(55)
где q2, Вт/м2 - плотность теплового потока для наружной поверхности;
,
(56)
где ql, Вт/м2 - линейная плотность теплового потока.
Линейная плотность теплового потока ql - это количество тепла, которое проходит в единицу времени через стенку трубы длиной в 1 м в радиальном направлении.
Из уравнений (54) - (56) устанавливается связь между q1, q2 и ql:
(57)