5.Закон косинусов Ламберта

З акон Стефана-Больцмана определяет суммарное излучение поверх­ности dF₁, пo всем направлениям полусферы (рис.21).

Рис .21. К выводу закона Ламберта.

Излучение, которое испускается телом по отдельным направлениям, устанавливается законом Ламберта. Каждое направление определяется углом φ, который оно образует с нормалью к поверхности. Согласно закону Ламберта, количество энергии, излучаемое поверхностью dF₁ в направлении поверхности dF₂ (рис. 21) пропорционально количеству энергии, излу­чаемой по нормали E_ndF₁, умноженному на величину пространственного угла dω и cosφ, т.е.

(137)

Уравнение (137) является наиболее полной математической фор­мулировкой закона Ламберта. Однако в этом уравнении пока неизвестно значение Е_n. Для его определения необходимо уравнение (137) проинтегрировать по поверхности полусферы, лежащей над плоскостью dF₁, и полученное выражение сопоставить с уравнением (131) зако­на Стефана-Больцмана.

В результате интегрирования получим:

(а)

Согласно закону Стефана-Больцмана:

(б)

Сопоставляя (а) и (б), получим

или (138)

Подставляя (136) в уравнение (135), получим:

(139)

Уравнение (139) служит основой для расчета лучистого тепло­обмена между поверхностями конечных размеров.

Закон Ламберта полностью справедлив для абсолютно черного тела. Для серых тел он справедлив лишь для φ=0-60°. Для полированных поверхностей закон Ламберта неприменим.

3.4. Лучистый теплообмен между двумя параллельными поверхностями

Рассмотрим процесс лучистого теплообмена между двумя параллельными, бесконечно большими пластинами из разнородных серых материа­лов. Среда между пластинами диатермична. Присвоим пластинам индексы I и 2 и все величины, относящиеся к пластинам, будем обозначать этими индексами.

Температура, лучеиспускатель­ная и поглощательная способ­ности этих поверхностей соот­ветственно равны: Т₁, Е₁, A₁ и Т₂, Е₂, A_2.

Первая поверхность излу­чает Е₁ (рис.22). Из этого количества вторая поверхность поглощает A₂ Е₁ и обратно отражает (1-A₂)Е₁:

Из этого количества первая поверхность поглощает A₁(1-A₂)Е₁ (а) и отражает (1-A₁)(1-A₂)Е₁. Вторая поверхность снова по­глощает A₂(1-A₁)(1-A₂)Е₁ и отражает (1-A₁)(1-A₂)²Е₁.

Из этого количества первая снова поглощает: A₁(1-A₁)(1-A₂)²Е₁ (б)

и т.д. до бесконечности.

Рис.22. Лучистый теплообмен между двумя параллельными поверхностями.

Точно такие же рассуждения можно провести для второй поверх­ности: вторая поверхность излучает Е₂; из этого количества пер­вая поглощает A₁E₂ и отражает (1- A₁)E₂ и т.д. Пусть Т₁>Т₂.Найдем количество теплоты, переданное лучеиспусканием от 1-й пластины ко 2-й (q_1,2).

Чтобы найти q_1,2, надо из собственного излучения первой пластины Е₁ вычесть, во-первых, то, что возвращается и снова поглощается от собственного излучения и, во-вторых, ту энергию, которая поглощается из излучения второй поверхности, т.е. найти результирующее излучение для первой поверхности:

q_1,2=Е₁- N₁- N₂

Первое вычитаемое может быть получено путем суммирования выражений (a) и (б) и т.д. В результате суммирования получим

(в)

где р=(1-A₁)(1-A₂)

Так как р <1, то сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

(г)

Подставляя (г) в (в), получим:

Второе вычитаемое получается аналогично и имеет следующий вид:

Подставив значения N₁ и N₂ в выражение для q_1,2, получим:

Приводя, это выражение, к общему знаменателю и учитывая, что

получим:

(140)

Согласно закону Стефана-Больцмана

и

Подставляя значения Е₁ и Е₂ в уравнение (140) и произве­дя преобразования, получим:

(141)

где А_пр - приведенный коэффициент поглощения. Так как А₁=ε₁ и А₂=ε₂ , то (141) можно записать следующим образом:

(142)

где - приведенная степень черноты.