Практическая работа №14
Предмет: «Математика»
Тема: «Решение систем уравнений с тремя неизвестными и «n» неизвестными»
Цель: Научиться решать системы лилейных уравнений методами Крамера и Гаусса.
Краткая теория:
Определение. Системой линейных уравнений, состоящей из m уравнений и n неизвестных x1, x2, …, xn называется система вида
где
числа
(
,
)
называются свободными членами при
неизвестных, числа
(
)
– свободными членами.
Определение.
Совокупность n
чисел
называется решением системы, если после
замены неизвестных
числами
соответственно каждое из уравнений
системы обращается в верное равенство.
Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Решение систем уравнений при помощи формул Крамера.
Пусть дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Если
определитель Δ системы отличен от нуля,
то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам Крамера:
,
,
.
,
,
,
.
Если определитель равен нулю, то система
либо не имеет решений, либо имеет
бесконечное множество решений.
Решение систем уравнений методом Гаусса
Более универсальным методом решения систем линейных уравнений является метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса). Суть метода Гаусса состоит в приведении системы уравнений к ступенчатому виду.
Примеры 1. Решить систему уравнений методом Крамера
Решение. Вычислим определитель Δ системы:
Так
как
,
данная система имеет единственное
решение.
;
;
По формулам Крамера имеем:
;
;
Ответ: (1;2;‑3).
Примеры 2. Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение. Составим матрицу коэффициентов системы уравнений
.
Обнулим коэффициенты при x
во второй и третьей строчках. Для этого
вычтем из них первую строчку, умноженную
на
и ‑1, соответственно:
.
Теперь обнулим коэффициент при y
в третьей строке, вычтя из неё вторую
строку, умноженную на 4:
.
В результате мы привели исходную систему
к треугольному виду, тем самым закончив
первый этап алгоритма. На втором этапе
разрешим полученные уравнения в обратном
порядке. Имеем:
z=‑1
(из третьего),
y=3
(из второго, подставив полученное z),
x=2
(из первого, подставив полученные z
и y).
Ответ: (2, 3, ‑1).
Самостоятельная работа
I вариант |
II вариант |
Решить системы уравнений методами Крамера и Гаусса |
|
1.
|
1.
|
2.
|
2.
|
Решить систему уравнений методами Гаусса |
|
3.
|
3.
|
Контрольные вопросы
Что называют системой линейных уравнений?
В чем заключается метод Крамера?
В чем заключается метод Гаусса?