Практическая работа №11

Предмет: «Элементы высшей математики»

Тема: «Решение дифференциальных уравнений первого порядка»

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка

Краткая теория:

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

.

Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

Решение. Разделив обе части полученного уравнения, имеем . Интегрируем обе части полученного уравнения: ; ; .

Самостоятельная работа

I вариант	II вариант
1. ; y=4 при x=1	1. ; y=2 при
2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(2; 2) и имеющей угловой коэффициент	2. Составить уравнение кривой, проходящей через точку М(4; 3) и имеющей угловой коэффициент
3. ; и при	3. ; и при
4. ; и при	4. ; и при

Контрольные вопросы

1. Что называют дифференциальным уравнением?

2. Что называют дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

3. Какие дифференциальные уравнения второго порядка называются неполными?

Практическая работа №13

Предмет: «Элементы высшей математики»

Тема: «Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка»

Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения первого порядка

Краткая теория:

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, где p и q – постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения составляем характеристическое уравнение .

Тогда общее решение дифференциального уравнения строиться в зависимости от корней и характеристического уравнения. Здесь возможны три случая.

I случай. Корни и ‑ действительные и различные. Решение имеет вид

.

II случай. Корни и ‑ действительные и равные: . Решение имеет вид

.

III случай. Корни и ‑ комплексно-сопряженные: и . Решение имеет вид .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. ; , . .

Самостоятельная работа

I вариант	II вариант
1. , и при	1. , и при
2. , и при	2. , и при
3. , и при	3. , и при
4. , и при	4. , и при

Контрольные вопросы

1. Что такое характеристическое уравнение?

2. Какие случаи возможны при решении линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и от чего это зависит?