Практическая работа №8

Предмет: «Элементы высшей математики»

Тема: «Вычисление неопределенных интегралов методом интегрирования по частям»

Цель: Научиться вычислять интегралы методом интегрирования по частям

Краткая теория:

Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна : .

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной называется интегрирование. Совокупность первообразных для функции или для дифференциала называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом, .

Основные свойства неопределенного интеграла

6. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: .

7. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .

8. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: .

9. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

10. Если и ‑ любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то .

Основные формулы интегрирования

;

, ;

;

;

;

;

;

;

.

Метод интегрирования по частям

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.

Ход работы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

Контрольные вопросы

1. Напишите формулу метода интегрирования по частям.

2. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

Практическая работа №9

Предмет: «Элементы высшей математики»

Тема: Вычисление определенных интегралов

Цель: Научиться вычислять производные высших порядков

Краткая теория:

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница: , т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Ход работы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Самостоятельная работа

I вариант	II вариант
Вычислить определенные интегралы
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.

Контрольные вопросы:

1. Какие табличные интегралы используются при решении интегралов из самостоятельной работы?

2. Решение каких заданий требует использование метода замены переменной?

3. Какие еще методы интегрирования вам знакомы?

Практическая работа №10

Предмет: «Элементы высшей математики»

Тема: Решение прикладных задач с помощью определенного интеграла

Цель: Научиться решать прикладные задачи с помощью определенного интеграла

Краткая теория:

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Вычисление некоторой величины u, соответствующей промежутку изменения независимой переменной x, выполняется по следующей схеме:

1. Пусть величина u получает приращение , соответствующие изменению x на малую величину ; рассматривается как данная или определяемая из условия задачи функция от x (рис. 1).

2. Заменив приращение дифференциалом (главная часть приращения ) и - дифференциалом , получим .

3. Интегрируя это равенство в пределах от до , находим .

Ход работы. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями: 1) , , , ; 2) , , ; 3) , , , ; 4) , .

Самостоятельная работа:

I вариант	II вариант
Вычислить площади фигур, ограниченные линиями:
1. , , , .	1. , , , .
2. , , .	2. , , .
3. , , , .	3. , , , .
4. , .	4. , .

Контрольные вопросы:

1. Что называют определенным интегралом?

2. Какая формула обычно используется для вычисления определенных интегралов?