Практическая работа №5
Предмет: «Элементы высшей математики»
Тема: Нахождение направлений выпуклости, точек перегиба и асимптот графика функции
Цель: научиться находить направления выпуклости, точки перегиба и асимптоты графика функции.
Краткая теория:
Направление выпуклости графика функции
Кривая
называется выпуклой
вниз в
промежутке
,
если она лежит выше касательной в любой
точке этого промежутка (рис. 1).
Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка (рис. 2).
Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называют промежутками выпуклости графика функции.
Выпуклость
вниз или вверх кривой, являющейся
графиком функции
,
характеризуется знаком ее второй
производной: если в некотором промежутке
,
то кривая выпукла вниз в этом промежутке;
если же
,
то кривая выпукла вверх в этом промежутке.
Пример
1.
Исследовать на направление выпуклости
кривую
в точках
и
.
Решение.
Находим
,
.
Подставляя во вторую производную
значения
и
получим
,
.
Таким образом, в точке
кривая выпукла вверх, а в точке
‑ выпукла вниз.
Точки перегиба
Точка графика функции , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.
Правило нахождения точек перегиба графика функции
1.
Найти вторую производную
.
2.
Найти критические точки функции
,
в которых
обращается в нуль или терпит разрыв. 3.
Исследовать знак второй производной
в промежутках, на которые найденные
критические точки делят область
определения функции
.
Если при этом критическая точка
разделяет промежутки выпуклости
противоположных направлений, то
является абсциссой точки перегиба
функции. 4.
Вычислить значения функции в точках
перегиба.
Пример
2.
Найти точки перегиба кривой
.
Решение.
Находим
.
Полагая
,
получим единственную критическую точку
.
Т.к. в промежутке
имеем
,
а в промежутке
имеем
,
то при
кривая имеет точку перегиба. Найдем
ординату этой точки:
.
Итак, (2; 16) – точка перегиба.
Асимптоты
Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Вертикальные
асимптоты.
График функции
при
имеет вертикальную асимптоту, если
или
;
при этом
‑ точка разрыва II рода. Уравнение
вертикальной асимптоты имеет вид
(схема 1).
Горизонтальные
асимптоты.
График функции
при
или при
имеет горизонтальную асимптоту, если
или
.
Может оказаться, что либо только один
из этих пределов конечный, либо ни
одного, тогда график имеет или одну
горизонтальную асимптоту, или ни одной.
Уравнение горизонтальной асимптоты
имеет вид
.
Наклонные
асимптоты.
Пусть график функции
имеет наклонную асимптоту
.
В этом случае справедливо равенство
,
где
,
.
Следует отдельно рассматривать случаи
и
(схема 2).
Схема 1.
Схема 2.
Пример
3. Найти асимптоты кривой
.
Решение.
Находим наклонную асимптоту:
,
.
Следовательно, график функции имеет
наклонную асимптоту
.
Т.к.
,
то прямая
‑ вертикальная асимптота.
Ход
работы:
1.
Исследуйте на направление выпуклости
кривые: 1)
в точках
и
;
2)
в точках
,
.
2.
Найдите точки перегиба следующих кривых:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
3.
Найти асимптоты кривых: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Контрольные вопросы: 1) Что называют промежутками выпуклостей графика функции? 2) Что называют точкой перегиба? 3) Какие Вы знаете виды асимптот?