Практическая работа №1
Предмет: «Элементы высшей математики»
Тема: Вычисление пределов функций
Цель: научиться вычислять пределы функций, используя определение предела и основные теоремы о пределах.
Краткая теория:
Число
А
называется пределом
функции
в точке
,
если для любой сходящейся к
последовательности значений аргумента
х,
соответствующая последовательность
значений функции сходится к числу А.
Это
записывают так:
.
Основные теоремы о пределах:
Если С – постоянная величина, то
.Если с – постоянная величина, то .
Пусть
функции
и
имеют в точке
пределы А
и В:
,
.
Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:
.Предел произведения равен произведению пределов:
.Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:
.
Теорема о первом замечательном пределе.
Предел
функции
в точке х=0
существует и равен единице:
Теорема о втором замечательном пределе.
Предел
функции
при
существует и равен е:
Пример
1.
Предел функции
равен…
Решение.
Пример
2.
Предел дроби
равен…
Решение.
Здесь имеет место неопределенность
вида
.
Для решения необходимо разложить
числитель и знаменатель на множители:
Пример
3. Предел
дроби
равен…
Решение.
Это неопределенность вида
.
Разделим числитель и знаменатель на
старшую степень х
(на
).
Пример
4.
Предел функции
равен…
Решение.
Умножим на сопряженное выражение
и разделим на него.
Теперь
разделим числитель и знаменатель на
.
Пример
5.
Предел
равен…
Решение.
Сделаем замену переменных
.
При
,
;
Пример
6.
Предел функции
равен…
Решение. Преобразуем данную дробь, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого числитель и знаменатель умножим на 2.
Ход работы:
Найти пределы следующих функций:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
.
Самостоятельная работа:
-
I вариант
II вариант
Найти пределы следующих функций:
1.
1.
2.
2.
3.
3.
4.
4.
5.
5.
6.
6.
Контрольные вопросы
В каком случае необходимо преобразовывать функцию при вычислении ее предела?
Какие преобразования функций Вы знаете?
Какие алгебраические формулы используются при преобразованиях функций?
Практическая работа №2
Предмет: «Элементы высшей математики»
Тема: Определение непрерывности функций, точек разрыва функций
Цель: научиться определять непрерывность функций, роды точек разрыва функций.
Краткая теория:
Определение
1:
Функция
называется непрерывной
в точке
х=а,
если предел функции при
равен значению функции при х=а,
т.е.
Определение
2:
Функция
называется непрерывной
в точке
х=а,
если она в этой точке определена и
бесконечно малому приращению аргумента
соответствует бесконечно малое приращение
функции, т.е.
Если условие непрерывности функции в точке х=а нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.
Если
функция
при х=а
имеет разрыв, то для выяснения характера
разрыва следует найти предел функции
при
слева и справа.
В
зависимости от характера поведения
функции в окрестности точки разрыва
различают два основных вида разрывов:
1) разрыв
I
рода
– в этом случае существуют конечные
пределы
и
;
2) разрыв II
рода – в этом случае хотя бы один из
пределов
и
не существует или бесконечен.
Пример
1.
Исследовать на непрерывность функцию
Решение.
Функция
определена для всех действительных
значений аргумента х,
т.е. областью определения является вся
числовая прямая. Область непрерывности
совпадает с областью ее определения,
что легко показать, использовав
определение 2.
Дадим
аргументу х
приращение
и найдем приращение функции
:
‑
_________________________
Найдем
предел
при
Равенство
справедливо при любом конечном значении
х,
поэтому функция
непрерывна при любом значении х.
Пример
2. Найти
точки разрыва и исследовать их характер
для функции
.
Решение.
Данная
функция определена при всех значениях
х,
кроме х=2
и х=4.
Для исследования характера разрыва
найдем левый и правый пределы функции
при
и
:
и
,
и
.
Точки х=2 и х=4 – точки разрыва II рода.
Ход
работы:
Для заданных функций найти точки разрыва
и исследовать их характер: 1)
,
2)
,
3)
.
Самостоятельная работа
-
I вариант
II вариант
Исследовать функции на непрерывность
1.
1.
2.
2.
Найти точки разрыва и исследовать их характер
3.
3.
4.
4.
5.
5.
6.
6.
7.
7.
8.
8.
Контрольные вопросы
Какая функция является непрерывной?
Какая точка называется точкой разрыва?
Какие существуют типы разрывов функций?