Предельный переход.

На практике при изучении спектров непериодических сигналов пользуются спектральной плотностью. От спектра сигнала к его спектральной плотности можно перейти, взяв предел произведения, образующегося при умножении комплексных коэффициентов Фурье на период :

.

Окончательно . (14)

Прием, позволяющий перейти от формул гармонического ряда к интегральной формуле (14), называют предельным переходом, имея в виду преобразования величин и функций при переходе от конечного к бесконечно большому.

5. Дискретизация

Непрерывные сигналы изначально непригодны для цифровой обработки, поэтому они должны быть дискретизированы. Дискретизация заключается в выборе отсчетов сигнала , , следующих один за другим через заданные интервалы ; при этом - целое, конечное или бесконечное.

Теорема Котельникова: непрерывный сигнал, спектр которого ограничен частотой , можно представить отсчетами, выбранными через интервалы времени, определяемые соотношением (1). Если спектр ограничен сверху циклической частотой , то интервал дискретизации определяется формулой: . Та и другая формулы идентичны; вторую применяют для циклических частот, первую - для круговых.

Выбор интервала дискретизации, превышающего , приведет к потере информации при восстановлении сигнала по его отсчетам. Наоборот, выбор интервала намного меньше величины, определяемой отношением , может привести к избытку информации. Таким образом, теорема устанавливает оптимальный выбор интервалов . Дискретный сигнал и его прототип, непрерывный сигнал показаны на рис.1.

Рис.1. Непрерывный и дискретный сигналы

На рис. 1 показаны ограниченные во времени сигналы. Дискретный сигнал в соответствии с рисунком состоит из отсчетов , и действует в течение времени .

Теоретически сигнал может быть восстановлен в соответствии с формулой, называемой рядом Котельникова:

, (2) где - номера отсчетов, - время.

Восстанавливающая функция для представляет собой четную знакопеременную функцию, простирающуюся влево и вправо до бесконечности (рис. 2).

Рис. 2. Восстанавливающая функция для

С учетом интервалов , вычитаемых из аргумента , восстанавливающая функция будет воспроизводиться с запаздыванием на по сравнению с (рис.3).

Рис. 3. Восстанавливающая функция для

Разумеется, что при отрицательном восстанавливающая функция будет воспроизводиться с опережением на . Общая картина воспроизведения сигнала показана на рис.4. Огибающая (на рисунке – штрих), проведенная как касательная ко всем восстанавливающим функциям, и будет восстановленным сигналом.

Рис. 4. Восстановление сигнала

Теоретически восстановление должно осуществляться с абсолютной точностью. Практически же восстановить сигнал с абсолютной точностью не представляется возможным. Во-первых, ограниченные во времени сигналы имеют неограниченные по частоте спектры, и наоборот, ограниченные по частоте спектры принадлежат к неограниченным по времени сигналам.