1. Спектры периодических сигналов

Периодический сигнал ограниченной мощности (рис.1) можно представить рядом Фурье , (1)

где - коэффициенты Фурье, они же амплитуды гармонических колебаний, - номер гармоники, представляющей синусоидальное и (или) косинусоидальное колебание, - период сигнала, - круговая частота сигнала и его первой гармоники.

Рис.1. Периодический сигнал

Коэффициенты Фурье определяются по следующим формулам

, (2)

Здесь - постоянная составляющая спектра; она определяется как среднее значение сигнала за период.

Пределы интегрирования могут задаваться произвольно, при этом разница между верхним и нижним пределом должна равняться одному периоду .

Круговая частота определяется периодом колебаний. Она равна .

Для периодического сигнала и период, и круговая частота – величины постоянные, т.е., .

На практике часто применяют циклическую частоту, которая связана с периодом и круговой частотой следующими формулами .

Ряд Фурье (1) представляет собой сумму бесконечно большого числа гармоник: косинусоид и синусоид, длящихся бесконечно долго. Каждая гармоника имеет свою амплитуду и свою частоту. Частоты гармоник дискретно возрастают с ростом их номеров . Амплитуды гармоник в общем знакопеременны и убывают по абсолютной величине с ростом частоты до бесконечно малых величин. Гармоники в совокупности и образуют спектр сигнала.

Спектр сигнала - графическая зависимость амплитуд гармонических колебаний от частоты. Общий вид спектра периодического сигнала показан на рис.2. Он состоит фактически из двух спектров: один содержит только косинусоиды с амплитудами , второй – синусоиды с амплитудами .

Рис. 2. Графическое представление спектра периодического сигнала

Спектр можно описать также таким уравнением , где - гармоника, состоящая из синусоиды и косинусоиды.

Можно получить спектр периодического сигнала, состоящего из двух спектров: первый содержит наборы только синусоид или только косинусоид, второй – начальные фазы этих синусоид или косинусоид. Первый называется амплитудным спектром, второй – фазовым спектром.

Ряд Фурье, описывающий такой спектр, представленный синусоидами с начальными фазами, имеет следующий вид:

.(3)

Здесь ; (4) где - амплитуда синусоидального колебания, - начальная фаза синусоиды.

Амплитудный и фазовый спектры при разложении периодического сигнала на синусоиды с начальными фазами показаны на рис. 4.

2. Комплексный ряд Фурье

Рассмотрим Комплексный ряд Фурье на примере функции , где - амплитуда, - угловая частота - – величины постоянные.

а)

Спектр такого сигнала можно найти с помощью формул для коэффициентов комплексного ряда Фурье:

.

При выводе последней формулы подынтегральное выражение в ней преобразовывалось следующим образом:

,

Выполняем интегрирование и подставляем пределы , , получим

. (1)

При подстановке ,не нулевые результаты будут только в след. случаях:

(2).

Спектр содержит только мнимую часть, состоящую из коэффициентов и , что отражается на графике спектра в виде двух линий: одна в положительной области частот, вторая – в отрицательной при значениях частоты, равных (рис. 2а). Это сравнительно легко объясняется тем, что в сигнале содержится только одна гармоника виде синусоиды. Мнимый характер спектра объясняется тем, что указанная синусоида является нечетной функцией. При задании сигнала в виде косинусоиды (четной функции) (рис.1б) спектр содержал бы только действительную составляющую (рис.2б):

.

а) б)

Рис. 2

Модули спектров синусоидальных и косинусоидальных сигналов совпадают и имеют форму, показанную на рис.2б.