Үш еселі интегралда сфералық координаталарға көшу

 XYZ кеңістігіндегі нүктесінің сфералық координаталары деп сандарын айтамыз, мұндағы - радиус-векторының ұзындығы, - радиус-вектордың XOY жазықтығындағы проекциясымен OX өсінің арасындағы бұрыш, ал - М нүктесімен радиус-вектор арасындағы бұрыш (сурет 4.16.6.). М нүктесінің бұл сандармен берілуі оның XYZ кеңістігіндегі орнын анықтайды.

сурет 4.16.5 сурет 4.16.6

М нүктесінің x, y, z декарттық координаталары сфералық координаталармен келесі формула арқылы байланысады:

. (1)

Анықтама бойынша ,

сурет 4.16.7

кеңістігіндегі жазықтығына XYZ кеңістігінде сфера сәйкес келеді, ал жазықтығына - OZ өсінен OX-пен бұрыш жасап өтетін жарты жазықтық, ал жазықтығына - жасаушылары XOY жазықтығымен бұрыш жасайтын, О төбесі болатын дөңгелек конус сәйкес келеді (сурет 4.16.8.). Якобиан бейнелеуі:

Берілген жолақта якобиан бейнелеуі теріс емес, тек жолақ шекарасында нөлге айналады.

Сурет 4.16.8

(1) бейнелеуі арқылы үш еселі интегралда айнымалыны ауыстыруға болады:

(2)

мұнда Т – V облысының кеңістігіндегі бейнесі. Бұл формула үш еселі интегралда декарттық координатадан сфералық координатаға көшу деп аталады.

сурет 4.16.9

Глоссарий

Санды функция- деп әрбір санына жиынының санын сәйкес қоятын ережесі аталады және ол немесе деп жазылады.

Негізгі элементтер функциялар. (  тұрақты)  дәрежелік  (  көрсеткіштік (  логарифмдік  тригонометриялық функциялары, -кері тригонометриялық функциялар негізгі.

Элементар функциялар- Бұл функцияларға ақырлы рет арифметикалық амалдар мен функциядан функция алу (суперпозиция) амалдарын қолдана отырып элементар функцияларды аламыз.

Нақты сандар тізбегі- деп натурал сандар жиынында анықталған функциясын атайды

Функциялардың шектері жөніндегі негізгі теоремалар- функциясының а нүктесінде шегі бар болуы пен шектері бар және олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

Егер онда .

Бірінші тамаша шек- (бірінші тамаша шек),

Екінші тамаша шек- немесе

Жанама теңдеуі-

Нормаль теңдеуі-

Функция дифференциалы- .

Лейбинц Формуласы: .

Мұнда . Бұл теңдіктерді математикалық индукция әдісін пайдаланып дәлелдеуге болады.

Лопиталь ережесі және т.б. анықталмаған өрнектердің шегін функциялардың туындыларының қатынасының шегі арқылы есептеуге әкеледі.

Анықталмағандықтар: , , ,

Экстремумның екінші жеткілікті шарты - фунциясының нүктесінде екінші туындысы бар және болсын. Онда

1) егер болса онда локальді минимум;

2) егер болса онда локальді максимум;

3) егер болса онда нүктесі экстремум нүктесі болуы да болмауы да мүмкін.

Иілу нүктесінің қажетті шарты-(иілу нүктесінің қажетті шарты). аралығында дифференциалданатын, ал - нүктесінде екінші ретті туындысы бар функция болсын. Егер иілу нүктесі болса, онда .

Иілу нүктесінің жеткілікті шарты -(иілу нүктесінің жеткілікті шарты). Егер функциясы нүктесінің белгілі бір - маңайында үзіліссіз болып, аралығында туындысы бар және ол кемімейтін (өспейтін), аралығында туындысы бар және ол өспейтін (кемімейтін) болса, онда - иілу нүктесі.

екінші ретті күдікті нүктелері деп те атайды) ішінен іздеу керек

Вертикаль асимптота туралы- (вертикаль асимптота туралы). түзуі вертикаль асимптота болуы үшін

немесе

шектерінің ең болмағанда біреуі шексіз үлкен болуы қажетті және жеткілікті.

Көлбеу асимтота туралы-(көлбеу асимптота туралы). түзуі функциясының көлбеу асимптотасы болуы үшін

және (4)

шектерінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

(мұнда ұмтылғандағы шек оң жақ көлбеу асимптота, ал ұмтылғандағы шек сол жақ көлбеу асимптота үшін қарастырылады)

Бөліктеп интегралдау формуласы-

Ньютон-Лейбниц формуласы-

Анықталмаған интегралды айнымалыны алмастыру туралы-

есептеулерде айнымалыны ауыстыру формуласы: