5. Задача стратегического планирования

Предложенная схема применения методов динамического программирования также применима при решении задачи стратегического планирования предприятия.

Рассматривается задача планирования производства предприятия в течение T периодов (лет). Предприятию на планируемый период выделяют дополнительные средства. Предполагается, что технология производства в планируемом периоде не меняется. Необходимо определить план производства на каждый год, объёмы закупаемых ресурсов, оптимальный план распределения финансовых средств P по годам деятельности для получения максимального дополнительного дохода.

Введем обозначения:

- объем закупаемых ресурсов;

- складские запасы ресурсов в первый год деятельности;

- план производства продукции каждого вида;

- нормы затрат ресурсов для производства единицы продукции каждого вида ( );

- цены на ресурсы;

- объем выделенных ресурсов;

и - соответственно минимальный (обязательства предприятия) и максимальный объем (ёмкость рынка) производства продукции;

k – номер периода (года) деятельности предприятия.

Задача стратегического планирования состоит из 2 этапов:

1. Находят показатели эффективности каждого периода в зависимости от объема выделенных ресурсов Q (в результате решения задачи линейного программирования – задачи использования ресурсов).

Математическая модель:

2. Определяют оптимальное распределение всех финансов P по периодам (годам) деятельности (методом динамического программирования).

Таким образом, можно вычислить показатели эффективности каждого периода деятельности предприятия в зависимости от выделенных финансовых средств, определить оптимальный план производства и объем закупаемых ресурсов.

Если P распределяется с точностью , то , можно сформировать следующую таблицу (таблица 3):

Таблица 3

Объем выделенных ресурсов, Q	Показатели эффективности периода деятельности в зависимости от объема выделенных средств, fi(Q)
	f1(Q)	f2(Q)	…	fl(Q)
Q0
Q1
Q2
…
Qn

Эта таблица используется для нахождения оптимального распределения финансовых ресурсов по периодам деятельности методом динамического программирования.

Замечание: Финансовые результаты первого года деятельности должны повлиять на финансовые результаты в последующие годы. Для этого в соотношение добавляется величина , где - норма затрат финансовых результатов на производство, т.е. .

6. Задача замены оборудования

За­дача замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования (станков, производственных зданий и т. п.) в процессе его эксплуатации. С течением времени растут производственные затраты на текущий и капитальный ре­монт и обслуживание, снижаются производительность труда, лик­видная стоимость.

Поэтому в определенный момент времени возникает необходимость (экономическая целесообразность) замены старого оборудования на новое. Критерием оптимальности являются, как пра­вило, либо прибыль от эксплуатации оборудования (задача мак­симизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).

Таким образом, задача состоит в нахождении плана-графика замены старого оборудования на новое в течение планируемого периода эксплуатации.

При построении модели задачи принято считать, что решение о замене выносится в начале каждого промежутка эксплуатации (например, в начале года) и что в принципе оборудование можно использовать неограниченно долго.

Основная характеристика оборудования - параметр состоя­ния - его возраст t.

При составлении динамической модели замены процесс заме­ны рассматривают как n - шаговый, разбивая весь период эксплуатации на n шагов. Возможное управление на каждом шаге харак­теризуется качественными признаками, например, (сохранить оборудование), (заменить оборудование).

При решении задачи замены оборудования используются следующие исходные данные:

- период планирования;

- ликвидная стоимость оборудования ( );

- стоимость содержания оборудования ( );

- первоначальная стоимость оборудования ( ).

Уравнения состояний системы зависят от управления:

В самом деле, если к k – ому шагу , то при сохранении оборудования через год возраст оборудования увеличится на 1. Если оборудование заменяется новым , то это означает, что к началу k – ого шага её возраст t=0 , а после года эксплуатации t=1, т.е. .

Показатель эффективности k - ого шага:

.

Пусть - условные оптимальные затраты на эксплуатацию оборудования, начиная с k - ого шага до конца, при условии, что к началу k - ого шага оборудование имеет возраст t лет.

Тогда уравнения Беллмана будут иметь вид:

Геометрическое решение задачи замены оборудования. Схема расчетов при решении задачи замены оборудования может быть представлена в виде двухкоординатной диаграммы (графа). На оси абсцисс будем откладывать номер шага k, на оси ординат — возраст оборудования t. Точка (k-1, t) на плоскости соответствует началу k-го года эксплуатации оборудования возраста t лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на k-м шаге показано на рисунке.

Над каждым отрезком, соединяющим точки (k-1;t) и (k;t+1), записываются соответствующие управлению затраты на сохранение оборудования, а над отрезком, соединяющим точки (k-1;t) и (k; 1), запишем затраты, соответствующие замене оборудования - управлению . Таким образом, будут размечены все отрезки, соеди­няющие точки на графике, соответствующие переходам из любого состояния в состояние .

Пример.

Оборудование эксплуатируется в течение 5 лет, после истечения срока продается. В начале каждого года можно принять решение сохранить оборудование или заменить его новым. Стоимость нового оборудования рублей.

Данные о затратах на содержание оборудования и ликвидной стоимости приведены в таблице 4.

Таблица 4.

t	0	1	2	3	4	5
φ(t)	-	6000	5000	3000	1000	500
r(t)	600	800	1100	1500	2000	-

Необходимо определить опти­мальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальны.

Проведем на размеченном графе условную оптимизацию.

5 шаг. В состояниях (5,t) оборудование продается, условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости (t), но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5,t) ставим величину дохода со знаком «-».

4 шаг.

Состояние (4,1).

Таким образом, если система к последнему шагу находилась в точке (4,1), то следует идти в точку (5,1) (укажем это направление пунктирной линией), т.к. затраты в этом случае будут минимальными (8000+600-6000=2600<800).

Состояние (4,2).

Состояние (4,3).

Состояние (4,4).

3 шаг.

Состояние (3,1).

В данном случае, находясь в точке (3,1), оптимально идти как в точку (4,2), так и в точку (4,1) (в обоих случаях затраты будут одинаковыми (-1600), возникает альтернативность решения).

Состояние (3,2).

Состояние (3,3).

2 шаг.

Состояние (2,1).

Состояние (2,2).

1 шаг.

Состояние (1,1).

В данном случае, находясь в точке (1,1), оптимально идти как в точку (2,1), так и в точку (2,2) (в обоих случаях затраты будут одинаковыми (2800), возникает альтернативность решения).

После проведения условной оптимизации в точке (0,0) получим минимальные затраты на эксплуатацию оборудования в течение 5 лет с последующей продажей: руб.

Строим оптимальные траектории, перемещаясь из точки (0,0) по пунктирным линиям в конечное состояние .

Получаем следующие наборы точек, соответствующие управлениям:

1. (0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,2); (5,1) - ;

2. (0,0); (1,1); (2,1); (3,2); (4,1); (5,2) -

3. (0,0); (1,1); (2,2); (3,1); (4,1); (5,2) - .

Согласно первой стратегии эксплуатации оборудования следует заменить в начале 3-его и 5-ого годов, согласно второй – в начале 2-ого и 4-ого годов, согласно третьей - в начале 3-его и 4-ого годов.

Замечания:

1. Стоимость приобретения оборудование зависит от года в силу изменения рыночных цен;

2. Затраты на содержание оборудования зависят не только от возраста оборудования, но и от года обслуживания;

3. Ликвидная стоимость оборудования зависит от стоимости нового оборудования в момент продажи;

4. Приобретаемое оборудование может иметь иные технологические характеристики, чем заменяемое оборудование, поэтому после замены оборудования изменяются экономические показатели производства (прибыль, рентабельность и др.).

В качестве критерия оптимизации в задаче замены оборудования может выступать максимизация прибыли.

В ней аналогично задаче замены оборудования с критерием минимизации затрат имеются данные о ликвидной стоимости, первоначальной стоимости и затратах на эксплуатацию оборудования в зависимости от года t.

При этом показатель эффективности определяется в результате решения задачи использования ресурсов в двух вариантах - при различных управлениях , . То есть решаются задачи планирования производства в каждый год планируемого периода:

1. при сохранении оборудования (значения норм затрат ресурсов ) и

2. при замене оборудования (нормы затрат равны ). При этом выполняется условие .

Математическая модель планирования производства в случае сохранения оборудования будет иметь следующий вид:

При замене оборудования модель принимает вид:

,

где p(k) – стоимость оборудования в период t;

r (k)– затраты на эксплуатацию оборудования в период t.

Вычислив показатели эффективности деятельности каждого предприятия (доход, прибыль) в зависимости от объема получаемых финансовых средств, далее используют их для нахождения оптимального плана-графика замены оборудования в течение планируемого периода методом динамического программирования.

При этом здесь, как и в задаче замены оборудования с критерием минимизации затрат, в состояниях системы, соответствующих последнему шагу, оборудование продается, и условный оптимальный доход от продажи равен ликвидной стоимости (t). Но в отличие от неё целевая функция связана уже не с затратами, а с прибылью, поэтому в кружках точек последнего шага (n,t) ставим величину дохода со знаком «+» (в задаче замены оборудования с критерием минимизации затрат на эксплуатацию необходимо ставить «-»).

В зависимости от управления графически перемещения на каждом шаге можно изобразить следующим образом:

Показатель эффективности k - ого шага определяется как: .

Уравнения Беллмана (в случае обратной схемы) будут иметь вид: