Решение:

а) Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

,

где ; .

n = 400; р = 0,9; q =1- p =1- 0,9 = 0,1; k_l = 345; k₂ = 372

; Ф_(-2,5) = 0,4938

; Ф₍₂₎ = 0,4772

P _{(345; 372)} = Ф₍₂₎ – Ф_(-2,5) = 0,4772 + 0,4938 = 0,971

б) Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

, где ;

n = 400; р = 0,9; q =1- p =1- 0,9 = 0,1; k = 350;

; .

Ответ: а) P _{(345; 372)} = 0,971;

б) .

6. Дан закон распределения случайной величины X. Найти М(Х), Д(Х) и Ϭ(Х)

Х	24	26	28	30
р	0,2	0,2	0,5	0,1

Математическое ожидание:

М(Х) = 24*0,2 + 26*0,2 + 28*0,5 + 30*0,1 = 4,8 + 5,2 + 14 + 3 = 27

Дисперсия: D(X) = – (M(X))²

D(X) = 24²*0,2 + 26²*0,2 + 28²*0,5 + 30²*0,1 – 27² = 115,2 + 135,2 + 392 + 90 -

-729 = 3,4

Среднее квадратичное отклонение:

Ответ: М(Х) = 27; D(X) = 3,4; = 1,8.

9. Дан закон распределения дискретной случайной величины X. Найти интегральную функцию и вычертить ее график.

X	1	3	5	7	9
P	0,1	0,25	0,3	0,25	0,1

Решение:

7. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А проявляется с постоянной вероятностью Р(0 Р ≤ 1). Написать для числа появления события А в этих испытаниях:

а) биномиальный закон распределения (n = 4, р = 0.7);

б) распределение Пуассона (n = 300, р = 0.02).

Решение:

а) Биноминальный закон распределения:

Х	0	1	2	3	4
р	0,0081	0,0756	0,2646	0,4116	0,2401

Контроль: = 0,0081 + 0,0756 + 0,2646 + 0,4116 + 0,2401 = 1

б) Воспользуемся законом Пуассона: ,

где a = pn = 300*0.02 = 6

;

;

; …

.

Х	0	1	2	…	300
Р

Распределение Пуассона:

8. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения F(X).

Требуется :

а) найти функцию плотности f(X);

б) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

в) найти вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале (а,b); построить графики функций F(X), f(X)

x₁ = -1; x₂ = 2