2. Подготовка исходных данных и составление математической модели задачи

2.1. Построение возможных вариантов схем движения судов

_{Названные суда применяются для перевозок на 6 выбранных участках:}

1. _Херсон – Осло _{(гружённый, Ql=} 380 _{тыс. т.)}

2. _Херсон – Веракрус _{(гружённый, Ql=} 300 _{тыс. т.)}

3. _{Вераксур} – Херсон _{(гружённый, Ql=} 210_{тыс. т.)}

4. _Осло – Веракрус _{(гружённый, Ql=} 180_{тыс. т.)}

5. _Осло – Херсон _{(балластный) груженый}

6. _Херсон – Веракрус _{(балластный)}

На основе заданных участков работы флота строим всевозможные варианты схем движения судов.

Правила составления схем:

- схемы должны быть замкнуты

- в схеме не должны встречаться подряд два или более балластных участков

- каждый порт входит в схему 1 раз, за исключением начального порта, который входит в схему дважды – как начальный и как конечный.

Исходя из данных правил, мы имеем такие схемы движения:

1. Херсон Осло Веракрус Херсон

2. Херсон Осло Херсон

3. Херсон Веракрус Херсон

4. Веракрус Херсон Веракрус

Варианты схем движения судов представляются в графическом виде. Груженые участки в схеме движения обозначаются сплошной линией, а балластные – пунктирной.

2.2.Расчет нормативов работы судов на схемах движения

Для полученных схем движения рассчитываются следующие нормативы:

а) время рейса судна i – го типа на j – ой схеме движения в сутках.

t_ij = ∑ t_il (i = ; j = ), (1)

где t_il – норматив времени работы судна i – го типа на l - ом участке, сут., который включает валовое стояночное время в порту погрузки, валовое время перехода на участке и валовое стояночное время в порту выгрузки;

суммирование выполняется по участкам, входящим в схему (l є j);

t₁₁ - время рейса 1-го типа судна на 1-ой схеме:

t₁₁ = t_x11 + t_cm11­ + t_x14 + t_cm14+ t_x13 + t_cm13

t₁₁ =25+26+20+47+22+45=185 (суток).

Результаты расчета для остальных типов судов и схем движения представлены в табл. 2.1:

Таблица 2.1

Время рейсов судов, (сутки)

№ типа судна	Схемы движения				Итого по судам
	1	2	3	4
1	185	61	115	93		454
2	180	73	116	92		461
Итого по схемам	365	134	231	185		915

б) инвалютный доход судна i – го типа на j – ой схеме движения за один рейс (тыс. долл.) определяется по формуле:

F_ij=∑f_l q_il (i = ; j = ), (2)

где f_l – тарифная ставка на l-ом участке, долл./т;

q_il - загрузка судна i – го типа на l-ом участке , тыс. т;

F₁₁ - инвалютный доход судна 1-го типа на 1-й схеме:

F₁₁ = f₁*q₁₁+ f₄*q₁₄+ f₃*q₁₃

F₁₁ = 30*10+47*11+40*10=1217 (тыс. долл.).

Результаты расчета для остальных типов судов и схем движения представлены в табл. 2.2:

Таблица 2.2

Инвалютные доходы судов, (тыс. долл.)

№ типа судна	Схемы движения				Итого по суда
	1	2	3	4
1	1217	300	708	400		2625
2	1240	330	776	440		2786
Итого по схемам	1457	630	1484	840		5411

в) расходы в инвалюте судна i – го типа на j – ой схеме движения за один рейс R_ij принять равными 30 % от доходов в инвалюте.

R_ij = 0,3* F_ij (i = ; j = ) (3)

R₁₁ – расход в инвалюте судна 1-го типа на 1-й схеме:

R₁₁=0,3* F₁₁

R₁₁=0,3*1217=365,1 (тыс. долл.).

Результаты расчета для остальных типов судов и схем движения представлены в табл. 2.3:

Таблица 2.3

Расходы в инвалюте судов, (тыс. долл.)

№ типа судна	Схемы движения				итого по судам
	1	2	3	4
1	365,1	90	212,4	120		787,5
2	372	99	232,8	132		835,8
итого по схемам	737,1	189	445,2	252		1623,3

2.3.Составление математической модели задачи.

При разработке математической модели задачи решаются следующие вопросы:

1. выбор параметров управления

2. выбор показателя качества (критерия оптимальности)

3. формирование ограничений и целевой функции в общем виде и с использованием конкретных числовых данных.

Выбор критерия оптимальности в расстановочной задаче существенно зависит от соотношения провозной способности флота П и объема перевозок Q. В курсовой работе П<Q, т.е. флота недостаточно для выполнения всех перевозок.

Критерий оптимальности – максимум чистой валютной выручки (ЧВВ).

∆ F_ij = F_ij - R_ij (i = ; j = ).

∆ F₁₁ – чистая валютная выручка судна 1-го типа на 1-й схеме:

∆ F₁₁ = F₁₁ – R₁₁

∆ F₁₁ = 1217-365,1=851,9 (тыс. долл.).

Результаты расчета для остальных типов судов и схем движения представлены в табл. 2.4:

Таблица 2.4

Чистые валютные выручки судов, (тыс. долл.)

№ типа судна	Схемы движения				Итого по судам
	1	2	3	4
1	851,9	210	495,6	280	1837,5
2	868	231	543,2	308	1950,2
Итого по схемам	1719,9	441	1038,8	588	3787,7

Математическая модель задачи в общем виде такова:

Z = ∑∑∆ F_ij x_ij – max, (4)

∑∑q_il x_ij ≤ Q_l ( ), (5)

∑ t_ij x_ij = T_i (i= ), (6)

x_ij ≥ 0 (i= , j= ). (7)

где x_ij – число рейсов судов i – го типа на j – ой схеме движения, судорейсы;

T_i – бюджет времени в эксплуатации судов i – го типа, судо-сутки;

T_i = N_i*T (i= ), (5)

где N_i – число судов i – го типа;

T – продолжительность планового периода (Т=365 суток);

Т₁=365*5=1825 судо–сут.;

Т₂=365*6=2190 судо–сут.;

Q_l – количество груза, предъявленное к перевозке на l-ом участке, тыс.т;

G_l – множество схем движения, содержащих l-ом участке,

S – количество груженых участков.

Экономический смысл:

целевой функции (4) – максимизировать чистую валютную выручку (ЧВВ);

ограничения (5) отражают требование: на каждом участке перевезти груз в количестве, не превышающем заявленного;

ограничения (6) отражают требование: использовать бюджет времени в эксплуатации судов всех типов на перевозках;

ограничения (7) – условие неотрицательности переменных.

^{Запишем математическую модель согласно исходным данным и построенным вариантам схем движения в координатной форме:}

Целевая функция (1):

Z = ΔF₁₁x₁₁ + ΔF₁₂x₁₂ + ΔF₁₃x₁₃ + ΔF₁₄x₁₄ + ΔF₂₁x₂₁ + Δ F₂₂x₂₂ + ΔF₂₃x₂₃ +Δ F₂₄x₂₄ – max;

Ограничения (2):

q₁₁ x₁₁ + q₁₁ x₁₂ + q₂₁ x₂₁ + q₂₁ x₂₂ ≤ Q₁, G₁ = {1,4,3}

q₁₂ x₁₃ + q₂₂ x₂₃ ≤ Q₂ , G₂ = {1}

q₁₃ x₁₁ + q₁₃ x₁₃ +q₁₃ x₁₄ + q₂₃ x₂₁+ q₂₃ x₂₃ + q₂₃ x₂₄ ≤ Q₃, G₃ = {2,3}

q₁₄ x₁₁ + q₂₄ x₂₁ ≤ Q₄; G₄ = {3}

^{Ограничения (3):}

t₁₁ x₁₁ + t₁₂ x₁₂ + t₁₃ x₁₃ + t₁₄ x₁₄ = T₁

t₂₁ x₂₁ +t₂₂ x₂₂ + t₂₃ x₂₃ + t₂₄ x₂₄ = T₂

Ограничения (4)

x_ij ≥ 0 (i= , j= ).

x₁₁≥0; x₁₂≥0; x₁₃≥0; x₁₄≥0 x₂₁≥0; x₂₂≥0; x₂₃≥0; x₂₄≥0

Подставим в математическую модель задачи в координатной форме значения нормативов, полученные ранее:

Целевая функция (1):

Z = 851,9x₁₁ + 210x₁₂ + 495,6x₁₃ + 280x₁₄ + 868x₂₁ + 231x₂₂ + 543,2x₂₃ + 308x₂₄ – max,

Ограничения (2):

10x₁₁ + 10x₁₂ + 11x₂₁ + 11x₂₂ ≤ 380,

11x₁₃ + 12x₂₃ ≤ 300,

10x₁₁ + 10x₁₃ + 10x₁₄ + 11x₂₁ + 11x₂₃ + 11x₂₄ ≤ 210,

11x₁₁ + 10x₂₁ ≤ 180;

^{Ограничения (3):}

185x₁₁ + 61x₁₂ + 115x₁₃ + 93x₁₄ = 1825,

180x₂₁ + 73x₂₂ + 116x₂₃ + 92x₂₄ = 2190;

Ограничения (4):

x_ij ≥ 0 (i= , j= ).

x₁₁≥0; x₁₂≥0; x₁₃≥0; x₁₄≥0 x₂₁≥0; x₂₂≥0; x₂₃≥0; x₂₄≥0

Выпишем вектора условий:

А₁₁ = ; А₁₂ = ; А₁₃ = ; А₁₄ = ;

А₂₁ = ; А₂₂ = ; А₂₃ = ; А₂₄ = .

^{Данная задача решается с помощью симплекс-метода, однако структурные ограничения не содержат нужного для построения базиса количества единичных векторов. Поэтому введем в математическую модель дополнительные и искусственные переменные, чтобы перейти от стандартной исходной задачи к канонической расширенной. Необходимо перейти к одноиндексным переменным, получаем, что: x11=x1, x12=x2, x13=x3, x14=x4, x21=x5, x22=x6, x23=x7, x24=x8. Таким образом, математическая модель примет вид:}

Z = 851,9x₁ + 210x₂ + 495,6x₃ + 280x₄ + 868x₅ + 231x₆ + 543,2x₇ + 308x₈ 0*S₁+0*S₂+0*S₃+0*S₄ – M*A₅-M*A₆ – max;

10x₁+10x₂+11x₅+11x₆ +S₁ =380

11x₃+12x₇ +S₂ =300

10x₁+10x₃+10x₄+11x₅+11x₇+11x₈ +S₃ =210

11x₁+10x₅ +S₄ =180

185x₁+61x₂+115x₃+93x₄ +A₅ =1825

180x₅+73x₆+116x₇+92x₈ +A₆ =2190

X_k ≥ 0 (k= ).

x₁≥0; x₂≥0; x₃≥0; x₄≥0; x₅≥0; x₆≥0; x₇≥0; x₈≥0.

^где S₁, S₂, S₃, S₄ – дополнительные переменные;

А₅, А₆ - искусственные переменные.

Мы получили 6 единичных векторов необходимых для построения базиса:

А₉ = ; А₁₀ = ; А₁₁ = ; А₁₂ = ; А₁₃ = ; А₁₄ = .

Исходный опорный план расширенной задачи:

X (x₁=0; x₂=0; x₃=0; x₄=0; x₅=0; x₆=0; x₇=0; x₈=0; S₁=380; S₂=300; S₃=210; S₄=180; A₅=1825; A₆=2190).

Формируем исходную симплекс-таблицу в табл. 2.5

Таблица 2.5

Исходная симплекс - таблица

№	Базис	СБ.	В	851,9	210	495,6	280	868	231	543,2	308	0	0	0	0	– М	– М
				x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	S1	S2	S3	S4	А5	А6
1	S1	0	380	10	10	0	0	11	11	0	0	1	0	0	0	0	0
2	S2	0	300	0	0	11	0	0	0	12	0	0	1	0	0	0	0
3	S3	0	210	10	0	10	10	11	0	11	11	0	0	1	0	0	0
4	S4	0	180	11	0	0	0	10	0	0	0	0	0	0	1	0	0
5	А5	-М	1825	185	61	115	93	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0
6	А6	-М	2190	0	0	0	0	180	73	116	92	0	0	0	0	0	1
m+1	Zij-Cij		0	-851,9	-210	-495,6	-280	-868	-231	-543,2	-308	0	0	0	0	0	0
m+2			-4015	-185	-61	-115	-93	-180	-73	-116	-92	0	0	0	0	0	0