Вариант 3. (Множественная регрессия 2) Задача 1

По 25 регионам страны изучается зависимость выполнения плана налоговых поступлений в бюджет у (%) от индекса потребительских цен х (в % к предыдущему году). Информация о логарифмах исходных показателей представлена в таблице 1

Таблица 1

Показатель	ln (х)	ln (у)
Среднее значение	0,4	0,9
Среднее квадратическое отклонение	0,15	0,25

Коэффициент корреляции между логарифмами составляет r_lnxlny=-0,87

Задание:

1. Постройте уравнение регрессии зависимости у от х.

2. Дайте интерпретацию коэффициента эластичности данной модели регрессии.

3. Определите значение коэффициента детерминации и поясните его смысл.

Решение:

1. Уравнение прямой парной регрессии имеет вид:. Подставим числовые значения, получим:

Потенцируем полученное выражение: , тогда получаем следующее уравнение регрессии зависимости у от х: .

2. Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1 % от своего среднего значения:

Коэффициент эластичности показывает, что на 0,56 % в среднем изменится результативный признак У – налоговые поступления в бюджет, при изменении на 1% факторного признака Х – индекса потребительских цен.

3. Определим значение коэффициента детерминации и поясните его смысл.

- связь тесная.

Коэффициент множественной детерминации равен квадрату множественного коэффициента корреляции. r²=0,757, коэффициент детерминации показывает, что 75.7% вариации результата обусловлено вариацией включенных в модель факторов.

Задача 2.

По 35 предприятиям района изучается зависимость потребления материалов (Y-тонн) от энерговооруженности ^{труда (X}₁^{-кВт час на 1 рабочего) и объема произведенной продукции (X}₂^{- тыс.единиц.).}

	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение	Парный коэффициент корреляции
Y	16,2	3,2	ryx1 =0,63
X1	5,4	1,3	ryx2 = 0,89
X2	7,3	2,6	rx1x2 = 0,37

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

2. Рассчитайте частные коэффициенты эластичности и сравните их с β - коэффициентами.

По каждому пункту задания сделайте выводы.

Решение:

1. Построим уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабе.

Линейное уравнение множественной регрессии y от x₁ и x₂ имеет вид: . Для расчёта его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: .

Расчёт -коэффициентов выполним по формулам

Получим уравнение

.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂ используя формулы для перехода от к b_i:

;

Тогда:

Значение а₀ определим из соотношения

тогда

2) Для характеристики относительной силы влияния x₁ и x₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением энерговооруженности труда x₁ на 1% от её среднего уровня потребление материалов у возрастает на 0,286 % от своего среднего уровня; при повышении ^{объема произведенной продукции} x₂ на 1% потребление материалов у возрастает на 0,422% от своего среднего уровня. Сила влияния объема произведенной продукции x₂ на потребление материалов у оказалась больше, чем сила влияния средней энерговооруженности труда x₁.

Сравним модули значений β₁ и β₂:

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении и β_j, объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: , а β-коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений: .

10