Тема 3. Методи розв’язування злп

2.3.1. Графоаналітичний метод розв’язування злп

Можна виділити два способи графоаналітичного розв’язування ЗЛП: повний перебір кутових точок; напрямлений перебір кутових точок, або градієнтний спосіб.

Спосіб повного перебору складається з таких етапів.

1. Побудова множини планів ЗЛП “ ” та її оцінка:

   • якщо “ ” = Æ (порожня множина), розв’язку немає;

   • якщо “ ” – опукла многогранна область, спосіб неприйнятний;

   • якщо “ ” – опуклий многокутник переходять до етапу 2.

2. Визначення координат кутових точок “ ”.

3. Обчислення значень цільової функції в кожній кутовій точці і визначення точок екстремуму:

   • якщо потрібного екстремуму досягнуто в одній кутовій точці, то розв’язок ЗЛП єдиний і координати цієї кутової точки – оптимальний план;

   • якщо потрібного екстремуму досягнуто в двох кутових точках, то ЗЛП має незліченну множину розв’язків, якими є координати будь-якої точки відрізка, що з’єднує всі кутові точки.

Приклад №1. Розв’язати способом повного перебору таку ЗЛП.

Розв’язання.

1. Побудова К та його оцінка. Обираємо систему координат (рис.2.1). Оскільки та невід’ємні, К лежить у першій чверті. Зобразимо розв’язок кожної нерівності окремо. Нерівність замінимо рівнянням та побудуємо відповідну граничну пряму. ЇЇ можна побудувати (до того ж лише одну) за двома точками. Оберемо точки на вісях координат:

Для зручності подальшого розв’язування прямі пронумеруємо римськими цифрами. Визначаючи напівплощину, в нерівність підставимо координати будь-якої точки, що не лежить на граничній прямій (зручніше «початок координат»). Якщо нерівність виконується, розв’язком є напівплощина, що містить цю точку. В протилежному випадку – інша напівплощина. Стрілками вкажемо відповідні напівплощини.

Аналогічно шукають другу та третю напівплощини:

; ;

Перетином трьох напівплощин та першої чверті є опуклий многокутник OABCD. Спосіб повного перебору можна застосувати.

2. визначення координат кутових точок К. Координати кутових точок О, А, D відомо з побудуви: , , .

Щоб знайти координати кутових точок B та С розв’яжемо систему рівнянь відповідно I і ІІІ, ІІ і ІІІ граничних прямих:

3. Обчислення значень цільової функції в кутових точках К та визначення точок екстремуму:

Оптимальний план задачі:

Приклади №2 . Розв’язати градієнтним способом

Можна виділити такі етапи розв’язування ЗЛП градієнтним способом.

1. Побудова К та його оцінка:

   • якщо К=Æ₁ – розв’язку немає;

   • якщо К Æ₁ – перехід до етапу 2.

2. Побудова , тобто

3. Побудова лінії рівня, що має з К спільні точки.

4. Переміщення лінії рівня в напрямі , якщо розв’язується задача на максимум цільової функції, та в протилежному, якщо розв’язується задача на мінімум цільової функції, доки вона не стане опорною для К. Можливі три випадки:

1. опорна пряма з К має спільну точку, тоді розв’язком ЗЛП є координати цієї точки;

2. опорна пряма з К має спільний відрізок, або спільний промінь, тоді розв’язком ЗЛП є координати будь-якої точки цього відрізку або променю, тобто ЗЛП має незліченну множину розв’язків;

3. пряма не може стати опорною для К, тобто завжди перетинає К, отже, ЗЛП розв’язку не має – цільова функція необмежена на К

Означення Опорною множиною до множини G називається пряма лінія, яка із множиною G має спільну точку або спільний відрізок і всі точки множини G знаходяться по одну сторону від прямої лінії.

Приклад №3.

Із малюнку випливає, що лінія рівня в ході переміщення в напрямі стає опорною до К у точці С. Отже, ЗЛП має єдиний розв’язок

Приклад №4.

Із малюнку випливає, що лінія рівня в процесі переміщення в напрямі стає опорною до К і має з нею спільний відрізок BC. Отже, ця ЗЛП має незліченну множину розв’язків:

Приклад №5.

Лінія рівня не може стати опорною до К, рухаючись у напрямі . Таким чином ЗЛП не має розв’язку.