Опукле програмування

Щоб розглянути особливості розв'язування задач опуклого програмування, треба ознайомитися з деякими властивостями опуклих функцій.

Опуклі функції та їх властивості

Означення 2.18 Функція f(х) задана на опуклій множині G Î E_n, називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок Х₁ і Х₂ Î G та будь-якого a (a Î [0; 1]) виконується умова

f(aX₂ +(1 – a)Х₁) £ af(X₂) + (1 – a)f(X₁). (2.126)

Означення 2.19 Функція f(X), задана на опуклій множині G Î E_n, називається угнутою, якщо для будь-яких точок Х₁ і Х₂ із G і будь-якого a (a Î [0; 1]) виконується умова

f(aX₂ +(1 – a)Х₁) ³ af(X₂) + (1 – a)f(X₁). (2.127)

Із наведених означень випливає, що коли f(X) - опукла функція, то (–f(X)) угнута, й навпаки.

Означення 2.20 Функція f(X), задана на опуклій множині G Î E_n, називається строго опуклою, якщо для будь-яких двох точок Х₁ і Х₂ із G(Х₁ ¹ Х₂) і будь-якого a (a Î [0; 1]) виконується умова

f(aX₂ +(1 – a)Х₁) < af(X₂) + (1 – a)f(X₁). (2.128)

Функція строго вгнута на G, якщо (–f(X)) строго опукла.

Лінійна функція Z = СХ є опуклою (угнутою) на G, оскільки для будь-яких двох точок Х₁ і Х₂ і будь-якого a (a Î [0; 1])

С[aX₂ +(1 – a)Х₁] = aCX₂ + (1 – a)CX₁.

Теорема 2.19 Якщо функції f_i(X) (i = ) є опуклими на деякій опуклій множині G Î E_n, то функція також опукла на G.

Теорема 2.20 Якщо f(X) – опукла функція, задана на невід’ємному гіпероктанті простору E_n, то множина G усіх точок, які задовольняють умови f(X) £ b і X ³ 0 опукла (якщо вона не порожня).

Примітка. Так само доводять, що коли f(X) – угнута функція, задана на невід’ємному октанті простору Е_п, то множина G усіх точок, які задовольняють умови f(X) ³ b, X ³ 0, є опуклою (якщо вона не порожня).

Теорема 2.21 Опукла функція неперервна в усіх внутрішніх точках множини, на якій вона визначена.

Примітка. Можна довести, що опукла функція f(X) диференційовна в усіх внутрішніх точках множини, на якій вона визначена.

Теорема 2.22 Якщо f(X) – опукла функція на множині G Î E_n, , то будь-який локальний мінімум f(X) на G є глобальним.

Наслідок 1. Якщо глобальний мінімум досягається в двох різних точках, то він досягається й у будь-якій точці відрізка, що з’єднує ці точки.

Наслідок 2. Якщо f(X) – строго опукла функція, то її глобальний мінімум на опуклій множині G досягається в єдиній точці.

Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Таккера

Задачу відшукання мінімального значення опуклої функції f(Х) на опуклій замкненій множині G називатимемо задачею опуклого програмування. Нехай множина G визначається системою нерівностей q_i(X) £ b_i, де q_i (і = ) – опуклі функції, та умовою невід’ємності змінних Х ³ 0.

На підставі теорем 2.19 і 2.20 множина G є опуклою. Можне довести і її замкненість.

Таким чином, під задачею опуклого програмування розуміють таку:

(2.129)

(2.130)

. (2.131)

Якщо G – порожня множина, то задача (2.129)-(2.131) не має розв'язку. Якщо G – обмежене множина, то задача має розв’язок, оскільки неперервна функція (теорема 2.21) за другою теоремою Вейєрштрасса досягає на замкненій обмеженій множині мінімального значення. Якщо G не обмежена, то задача може й не мати розв’язку.

У випадку задачі опуклого програмування функція Лагранжа набуває вигляду

. (2.132)

Справедлива наступна теорема, що виражає необхідну й достатню умову існування розв’язку задачі опуклого програмування, яку називають теоремою Куна-Таккера.

Теорема 2.23 Для того щоб точка Х* Î G була розв'язком задачі (2.129)-(2.131), необхідно й достатньо, щоб існував невід’ємний набір L* такий, що для всіх Х Î G і L ³ 0

. (2.133)

Примітка 1. Точку (Х*, L*) називають сідловою точкою функції Лагранжа, а теорему Куна-Таккера тому ще називають теоремою про сідлову точку.

Примітка 2. Ця теорема справедлива, якщо множина G має хоча б одну внутрішню точку, тобто існує Х Î G таке, що q_i(X) < b_i (1= ) (цю умову називають умовою регулярності, або умовою Слейтера). У противному разі теорема не завжди справедлива.

Примітка 3. Умови (2.133) еквівалентні таким умовам Куна-Таккера, що є модифікацією умов (2.118) стосовно задач опуклого програмування:

(1.134)

(1.135)

Приклад.

х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

Показати, що існує L* при якому в точці М(88/25; 84/25) (див. розв’язування прикладу 1) виконуються умови (2.134) і (2.135).

Розв’язання. Складаємо функцію Лагранжа:

і знаходимо її частинні похідні:

; ;

; ;

; .

Отже, на підставі умов (2.134) і . Оскільки х₁ = 88/25 > 0 і х₂ = 84/25 > 0, на підставі (2.134) маємо

і ,

тобто

.

Отже, в точці (88/24; 84/25; 0; 58/25) виконується умови Куна-Таккера.

Примітка 4. Теорема Куна-Танкера безпосередньо не пов’язана з обчислювальною процедурою, однак є фундаментальною для побудови обчислювального методу розв’язування одного з важливих класів задач нелінійного програмування – квадратичного програмування.

На закінчення наведемо умови, що накладаються на f(x), q_i(X) i l_i, при яких задача нелінійного програмування є задачею опуклого програмування.

Вид екстремуму цільової функції	Умови, що накладаються на
	f(Х)	qi(Х)	знак li	вигляд обмежень
max	Угнута	Опукла	£ 0	qi(Х) £ bi
		Угнута	³ 0	qi(Х) ³ bi
min	Опукла	Опукла	£ 0	qi(Х) £ bi
		Угнута	³ 0	qi(Х) ³ bi

Ці умови забезпечують угнутість функції Лагранжа при максимізації й опуклість при мінімізації.