Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
EMM.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.04.2025
Размер:
4.26 Mб
Скачать

Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.

Економічна постановка. Меблева фабрика випускає два види виробів - столи й дивани, використовуючи при цьому три види ресурсів - дошки, цвяхи та клей. Відомо питомі витрати кожного виду виробів, запаси всіх видів ресурсів і прибуток, отримуваний від реалізації одиниці кожного виду виробів.

Треба визначити план виробництва продукції з наявних ресурсів, що забезпечує максимум прибутку підприємству.

Умовні вихідні дані наведено в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Ресурси

Вироби

Стіл

Диван

Запас

Дошки, м2

5

8

40

Цвяхи, шт.

4

6

26

Клей, г

2

1

7

Прибуток, крб.

10

11

-

Математична модель задач. В задачі не відомо обсяги випуску кожного виду продукції. Позначимо запланований обсяг випуску столів х1, диванів - х2. Набір значень цих змінних і описує план виробництва меблевої фабрики.

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку, який отримує підприємство. Оскільки питомий прибуток від реалізації столів дорів­нює 10/див. табл. 2.1/, при плані випуску столів х1 підприємство дістане прибуток від реалізації цієї кількості столів у розмірі 10х1, аналогічно прибуток від реалізації запланованого випуску диванів становитиме 11х2, а сумарний прибуток має вигляд

Z = 10x1 + 11x2.

Необхідно максимізувати прибуток. Отже, цільова функція

Z = 10x1 + 11x2 (max). (2.4)

Економічний смисл обмежень очевидний: вони виражають обмеженість ресурсів. Витрата дошок на один стіл дорівнює 5, отже, на весь запла­нований обсяг випуску цієї продукції буде витрачено 1 дошок, а на випуск усього запланованого обсягу диванів – 2.

Таким чином, загальні витрати дошок становитимуть 1 + 2, і вони, природно, не можуть перевищувати запас, що дорівняє 40. Діста­немо перше обмеження:

1 + 8х2 40 (2.5)

Аналогічно записуємо обмеження щодо використання цвяхів і клею:

1 + 6х2 26 (2.7)

2x1 +x2 7 (2.7)

Із економічного смислу введених змінних – запланованих обсягів виробництва продукції – впливає їх невід’ємність:

x1 0; x2 0. (2.8)

Цільова функція (2.4), система основних обмежень (2.5)–(2.7) і умова невід’ємності (2.8) – це математична модель задачі раціонального використання ресурсів.

Задача зводиться до відшукання таких невід’ємних значень х1 і х2, які задовольняли б обмеження (2.5) – (2.7) і надавали максимуму функції (2.4).

У загальному вигляді задача раціонального використання ресурсів формулюється так.

Економічна постановка. Підприємство випускає n видів продукції, використовуючи m видів ресурсів. Відомо матрицю питомих витрат ресурсів

A = // aij // ( i = ; j = ),

де aij - кількість одиниць і-го виду ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j -го виду продукції. Запаси ресурсів виражаються величиною bi ( і = ), а прибуток - cj ( j = ).

Треба скласти план виробництва продукції з наявних ресурсів, який забезпечує максимальний прибуток підприємству.

Математична модель. Позначимо шуканий запланований випуск продук­ції j-го виду xj ( j = ). Тоді цільова функція, що виражає ви­могу максимізувати сумарний прибуток Z, набуває вигляду

Z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn (max). (2.9)

Обмеження, що відображують той факт, що витрати ресурсів не можуть перевищувати їх запаси, миють вигляд

a11x1+a12x2+…+a1nxn<b1;

a21x1+a22x2+…+a2nxn<b2; (2.10)

…………………………………

am1x1+am2x2+…+amnxn<bn

На змінні накладаються також умови невід’ємності:

x1 0; x2 0;…;xn 0. (2.11)

Щоб розв’язати задачу, треба визначити невід’ємні значення змінних х12,...,хn, які задовольняють систему основних обмежень (2.10) і надають максимуму цільової функції (2.9).

Задача складання раціону

Економічна постановка. Для відгодівлі худоби можна використовувати два види кормів – зерно й сіно, які містять поживні речовини. Для трьох із них – білка, вітамінів і вуглеводів – задано мінімальні добові норми споживання.

Відомо вміст кожного виду поживних речовин у 1кг кожного виду кормів і вартість кормів. Треба скласти добовий раціон худоби, що відповідає вимогам поживності та мінімальної вартості.

Умовні вихідні дані наведено в табл. 2.2

Таблиця 2.2

Поживні речовини

Вид корму

Мінімальна добова норма

Зерно

Сіно

Білок

20

2

80

Вітаміни

18

14

120

Вуглеводи

15

34

250

Вартість 1 кг. корму

8

1

-

Математична модель . Позначимо х1 і х2 заплановану кількість відповідно зерна й сіна, що йде на відгодівлю худоби. Набір значень цих двох змінних являє собою шуканий раціон. Виходячи з даних табл. 2.2 вартість раціону Z = 8x1 + x2 згідно з умовою задачі має бути міні­мальною. Отже, цільова функція задачі набуває вигляду

Z = 8x1 + x2 (min) (2.12)

Обмеження задачі відображують вимоги поживності. З раціоном x1, x2 худоба отримує 20x1 + 2x2 білка, вміст якого не може бу­ти меншим від мінімальної норми – 80. Дістаємо обмеження

20x1 + 2x2 80. (2.13)

Аналогічний вигляд мають обмеження за вмістом у раціоні вітамінів і вуглеводів:

18х1 + 14х2 120; (2.14)

15x1 + 34x2 250.

Окрім того, очевидно, що з економічного смислу введених змінних випливає їх невід’ємність:

x1 0; x2 0. (2.15)

Цільова функція (2.12) і система обмежень (2.13)-(2.15) є математичною моделлю задачі складання раціону, що зводиться до відшукання зна­чень х1 і х2, які задовольняють (2.13)-(2.15) і надають мінімуму – (2.12).

У загальному вигляді задача складання раціону формулюється таким чином.

Економічна постановка. Для відгодівлі худоби можна використовувати n видів кормів, які містять m видів поживних речовин. Вміст кожної з поживних речовин в одиниці кожного виду корму задається матрицею А= //aij// (i = ; j = ), де aij - вміст i-ї поживної речовини в одиниці j-го виду корму.

Мінімальна добова норма становить bi ( i= ), а вартість одиниці корму - cj ( j = ).

Необхідно скласти добовий раціон, що задовольняє вимоги поживності та мінімальної вартості.

Математична модель. Позначимо кількість кормів, які йдуть на від­годівлю худоби, x1,x2,…,xn. Тоді цільова функція, що виражає вимогу мінімізації вартості раціону, має вигляд

Z = c1x1+c2x2+…+cnxn (min). (2.16)

Обмеження, що відображують вимогу поживності:

(2.17)

На змінні накладається також умова невід’ємності

x1 0; x2 0; …; xn 0. (2.18)

Розв’язок задачі – набір значень змінних х1, х2,..., xn , який задовольняє /2.17/ і /2.18/ і надає мінімуму цільовій функції.

У всіх розглянутих прикладах функції, що входять до математичної моделі, лінійні, тому всі ці задачі належать до ЗЛП.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]