
- •Розділ 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
- •Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання
- •Тема 2. Моделювання як метод наукового пізнання
- •Тема 3. Економіко-математичне моделювання
- •Тема 1. Сутність та елементи класифікації оптимізацій них задач
- •Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.
- •Стандартна форма канонічного вигляду злп
- •Форми запису злп. Основні означення
- •Тема 3. Методи розв’язування злп
- •2.3.1. Графоаналітичний метод розв’язування злп
- •2. 3.2 Поняття симплексного методу (см)
- •Побудова початкового опорного плану.
- •Оцінка оптимальності опорного плану.
- •2.3.3 Алгоритм симплексного методу.
- •Метод штучного базису (м-метод).
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних оптимізаційних задач Поняття двоїстості
- •Властивості розв’язків двоїстих пар задач
- •Двоїстий симплексний метод
- •Економічна інтерпретація симплексного метода. Економіко-математичний аналіз результатів розв’язку злп.
- •Тема 5. Транспортна задача
- •2.5.1. Постановка й математична модель транспортної задачі
- •Економічна постановка та математична модель закритої транспортної задачі
- •Економічні постановки та математичні моделі відкритих транспортних задач
- •Метод потенціалів
- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних процесів Постановка задачі дискретного лінійного програмування
- •Методи відсікання
- •Класичні методи оптимізації
- •Визначник цієї матриці
- •Узагальнений метод множників Лагранжа
- •Опукле програмування
- •Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Таккера
- •Поняття задачі квадратичного програмування
- •Розділ 3. Балансові моделі економіки
- •3.1. Теорія загальної рівноваги
- •3.2. Загальна схема міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.2.1. Класифікація мгб
- •3.2.2. Загальна схема та економіко-математична модель мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.3. Характеристика основних розділів мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.4. Характеристика основних параметрів мгб виробництва та розподілу продукції
- •Методи складання мгб на плановий період
- •3.3. Модифікації міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.3.1. Міжгалузевий трудовий баланс
- •3.3.2. Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу основних виробничих фондів
- •Розділ 4. Економіко-статистичні моделі Тема 1. Прогнозування
- •4.1.Сутність та значення економічного прогнозування
- •4.1.1. Часові ряди та їх показники динаміки
- •4.1.2. Методи згладжування часових рядів
- •4.1.3. Аналітичні методи згладжування динамічних рядів
- •Тема 2. Виробничі функції
- •4.2. Означення виробничої функції та її властивості
- •4.2.1. Економічні показники, обчислювані за допомогою виробничої функції
- •4.2.2. Зауваження з приводу коефіцієнту a функції Кобба-Дугласа
- •4.2.3. Побудова виробничої функції за емпіричними даними
- •Розділ 5. Моделювання економічного ризику
- •5.1. Ризик як економічна категорія. Об'єкт, суб'єкт, джерело ризику
- •Система постулатів стосовно ризику як економічної категорії
- •Концептуальні засади й аксіоматика ризикології
- •Невизначеність та ризик. Причини виникнення невизначеності та ієрархія її видів
- •Конфліктність, альтернативність, багатокритеріальність та багатоцільовість
- •Процес прийняття економічних рішень з урахуванням ризику
- •Аналіз ризикованості підприємства на підставі показників фінансового стану
- •Ризикотвірні чинники
- •Загальні засади класифікації ризику
- •Політичний ризик
- •Підприємницький ризик
- •Виробничий ризик
- •Фінансовий ризик
- •Інноваційний ризик
- •5.2. Основні підходи до кількісного аналізу ризику
- •Метод аналогій
- •Аналіз чутливості
- •Аналіз ризику методами імітаційного моделювання
- •Аналіз ризику можливих збитків
- •Загальні підходи до кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Імовірність як один із підходів до оцінювання ступеня ризику
- •Інгредієнт економічного показника
- •Кількісні показники ступеня ризику в абсолютному вираженні
- •5.3. Ризик та елементи теорії корисності Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення
- •Поняття лотереї. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність
- •Різне ставлення до ризику та функція корисності
- •Криві байдужості
- •Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику
- •5.4. Основні засади управління економічним ризиком. Принципи управління ринком
- •Основні способи управління ризиком
- •Узагальнена процедура управління економічним ризиком
- •Прийняття рішень з урахуванням ризику
- •Використання експерименту як чинника зниження ризику
- •5.5 Елементи теорії портфеля Сутність диверсифікації на прикладі моделі Марковіца
- •Визначення характеристик портфеля цінних паперів
- •Портфель з багатьох видів цінних паперів
- •Включення в портфель безризикових цінних паперів
- •Ринкова модель (однофакторна модель Шарпа формування норми прибутку)
- •Оцінювання систематичного та несистематичного ризиків
- •5.6. Моделювання економічного ризику на базі концепції теорії гри Теоретико-ігрова модель та її основні компоненти
- •Функціонал оцінювання
- •Матриця ризику
- •Класифікація інформаційних ситуацій
- •Прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі другої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі третьої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі п 'ятої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень, оптимальних за Парето
- •5.7.Ієрархічні моделі оцінювання економічного ризику та обґрунтування прийняття багатоцільових рішень Загальна ієрархічна модель та етапи її побудови
- •Теоретико-ігровий підхід до побудови багатоцільової моделі
- •Концептуальні проблеми розв 'язання багатоцільових і багатокритеріальних задач
- •Одноцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі однієї інформаційної ситуації
- •Обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •Багатоцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •5.8 Запаси та резерви як способи зниження ступеня ризику Структура та види резервів і запасів
- •Резервування грошових засобів на покриття випадкових витрат
- •Моделі оптимізації ступеня ризику та деякі стратегії формування запасів і резервів
- •5.9 Вартість, час та ризик Вартість і час
- •Модель рівноваги ринку капіталів (сарм)
- •Вплив ризику та інфляції на величину сподіваної норми відсотка (дисконту)
Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.
Економічна постановка. Меблева фабрика випускає два види виробів - столи й дивани, використовуючи при цьому три види ресурсів - дошки, цвяхи та клей. Відомо питомі витрати кожного виду виробів, запаси всіх видів ресурсів і прибуток, отримуваний від реалізації одиниці кожного виду виробів.
Треба визначити план виробництва продукції з наявних ресурсів, що забезпечує максимум прибутку підприємству.
Умовні вихідні дані наведено в табл. 2.1.
Таблиця 2.1
Ресурси |
Вироби |
||
Стіл |
Диван |
Запас |
|
Дошки, м2 |
5 |
8 |
40 |
Цвяхи, шт. |
4 |
6 |
26 |
Клей, г |
2 |
1 |
7 |
Прибуток, крб. |
10 |
11 |
- |
Математична модель задач. В задачі не відомо обсяги випуску кожного виду продукції. Позначимо запланований обсяг випуску столів х1, диванів - х2. Набір значень цих змінних і описує план виробництва меблевої фабрики.
Критерієм оптимальності є максимізація прибутку, який отримує підприємство. Оскільки питомий прибуток від реалізації столів дорівнює 10/див. табл. 2.1/, при плані випуску столів х1 підприємство дістане прибуток від реалізації цієї кількості столів у розмірі 10х1, аналогічно прибуток від реалізації запланованого випуску диванів становитиме 11х2, а сумарний прибуток має вигляд
Z = 10x1 + 11x2.
Необхідно максимізувати прибуток. Отже, цільова функція
Z = 10x1 + 11x2 (max). (2.4)
Економічний смисл обмежень очевидний: вони виражають обмеженість ресурсів. Витрата дошок на один стіл дорівнює 5, отже, на весь запланований обсяг випуску цієї продукції буде витрачено 5х1 дошок, а на випуск усього запланованого обсягу диванів – 8х2.
Таким чином, загальні витрати дошок становитимуть 5х1 + 8х2, і вони, природно, не можуть перевищувати запас, що дорівняє 40. Дістанемо перше обмеження:
5х1
+ 8х2
40 (2.5)
Аналогічно записуємо обмеження щодо використання цвяхів і клею:
4х1 + 6х2 26 (2.7)
2x1 +x2 7 (2.7)
Із економічного смислу введених змінних – запланованих обсягів виробництва продукції – впливає їх невід’ємність:
x1
0;
x2
0.
(2.8)
Цільова функція (2.4), система основних обмежень (2.5)–(2.7) і умова невід’ємності (2.8) – це математична модель задачі раціонального використання ресурсів.
Задача зводиться до відшукання таких невід’ємних значень х1 і х2, які задовольняли б обмеження (2.5) – (2.7) і надавали максимуму функції (2.4).
У загальному вигляді задача раціонального використання ресурсів формулюється так.
Економічна постановка. Підприємство випускає n видів продукції, використовуючи m видів ресурсів. Відомо матрицю питомих витрат ресурсів
A
= // aij
// ( i =
;
j
=
),
де aij - кількість одиниць і-го виду ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j -го виду продукції. Запаси ресурсів виражаються величиною bi ( і = ), а прибуток - cj ( j = ).
Треба скласти план виробництва продукції з наявних ресурсів, який забезпечує максимальний прибуток підприємству.
Математична модель. Позначимо шуканий запланований випуск продукції j-го виду xj ( j = ). Тоді цільова функція, що виражає вимогу максимізувати сумарний прибуток Z, набуває вигляду
Z = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn (max). (2.9)
Обмеження, що відображують той факт, що витрати ресурсів не можуть перевищувати їх запаси, миють вигляд
a11x1+a12x2+…+a1nxn<b1;
a21x1+a22x2+…+a2nxn<b2; (2.10)
…………………………………
am1x1+am2x2+…+amnxn<bn
На змінні накладаються також умови невід’ємності:
x1 0; x2 0;…;xn 0. (2.11)
Щоб розв’язати задачу, треба визначити невід’ємні значення змінних х1,х2,...,хn, які задовольняють систему основних обмежень (2.10) і надають максимуму цільової функції (2.9).
Задача складання раціону
Економічна постановка. Для відгодівлі худоби можна використовувати два види кормів – зерно й сіно, які містять поживні речовини. Для трьох із них – білка, вітамінів і вуглеводів – задано мінімальні добові норми споживання.
Відомо вміст кожного виду поживних речовин у 1кг кожного виду кормів і вартість кормів. Треба скласти добовий раціон худоби, що відповідає вимогам поживності та мінімальної вартості.
Умовні вихідні дані наведено в табл. 2.2
Таблиця 2.2
Поживні речовини |
Вид корму |
Мінімальна добова норма |
|
Зерно |
Сіно |
||
Білок |
20 |
2 |
80 |
Вітаміни |
18 |
14 |
120 |
Вуглеводи |
15 |
34 |
250 |
Вартість 1 кг. корму |
8 |
1 |
- |
Математична модель . Позначимо х1 і х2 заплановану кількість відповідно зерна й сіна, що йде на відгодівлю худоби. Набір значень цих двох змінних являє собою шуканий раціон. Виходячи з даних табл. 2.2 вартість раціону Z = 8x1 + x2 згідно з умовою задачі має бути мінімальною. Отже, цільова функція задачі набуває вигляду
Z = 8x1 + x2 (min) (2.12)
Обмеження задачі відображують вимоги поживності. З раціоном x1, x2 худоба отримує 20x1 + 2x2 білка, вміст якого не може бути меншим від мінімальної норми – 80. Дістаємо обмеження
20x1 + 2x2 80. (2.13)
Аналогічний вигляд мають обмеження за вмістом у раціоні вітамінів і вуглеводів:
18х1 + 14х2 120; (2.14)
15x1 + 34x2 250.
Окрім того, очевидно, що з економічного смислу введених змінних випливає їх невід’ємність:
x1 0; x2 0. (2.15)
Цільова функція (2.12) і система обмежень (2.13)-(2.15) є математичною моделлю задачі складання раціону, що зводиться до відшукання значень х1 і х2, які задовольняють (2.13)-(2.15) і надають мінімуму – (2.12).
У загальному вигляді задача складання раціону формулюється таким чином.
Економічна постановка. Для відгодівлі худоби можна використовувати n видів кормів, які містять m видів поживних речовин. Вміст кожної з поживних речовин в одиниці кожного виду корму задається матрицею А= //aij// (i = ; j = ), де aij - вміст i-ї поживної речовини в одиниці j-го виду корму.
Мінімальна добова норма становить bi ( i= ), а вартість одиниці корму - cj ( j = ).
Необхідно скласти добовий раціон, що задовольняє вимоги поживності та мінімальної вартості.
Математична модель. Позначимо кількість кормів, які йдуть на відгодівлю худоби, x1,x2,…,xn. Тоді цільова функція, що виражає вимогу мінімізації вартості раціону, має вигляд
Z = c1x1+c2x2+…+cnxn (min). (2.16)
Обмеження, що відображують вимогу поживності:
(2.17)
На змінні накладається також умова невід’ємності
x1 0; x2 0; …; xn 0. (2.18)
Розв’язок задачі – набір значень змінних х1, х2,..., xn , який задовольняє /2.17/ і /2.18/ і надає мінімуму цільовій функції.
У всіх розглянутих прикладах функції, що входять до математичної моделі, лінійні, тому всі ці задачі належать до ЗЛП.