Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.

Економічна постановка. Меблева фабрика випускає два види виробів - столи й дивани, використовуючи при цьому три види ресурсів - дошки, цвяхи та клей. Відомо питомі витрати кожного виду виробів, запаси всіх видів ресурсів і прибуток, отримуваний від реалізації одиниці кожного виду виробів.

Треба визначити план виробництва продукції з наявних ресурсів, що забезпечує максимум прибутку підприємству.

Умовні вихідні дані наведено в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Ресурси	Вироби
	Стіл	Диван	Запас
Дошки, м2	5	8	40
Цвяхи, шт.	4	6	26
Клей, г	2	1	7
Прибуток, крб.	10	11	-

Математична модель задач. В задачі не відомо обсяги випуску кожного виду продукції. Позначимо запланований обсяг випуску столів х₁, диванів - х₂. Набір значень цих змінних і описує план виробництва меблевої фабрики.

Критерієм оптимальності є максимізація прибутку, який отримує підприємство. Оскільки питомий прибуток від реалізації столів дорів­нює 10/див. табл. 2.1/, при плані випуску столів х₁ підприємство дістане прибуток від реалізації цієї кількості столів у розмірі 10х_1, аналогічно прибуток від реалізації запланованого випуску диванів становитиме 11х₂, а сумарний прибуток має вигляд

Z = 10x₁ + 11x₂.

Необхідно максимізувати прибуток. Отже, цільова функція

Z = 10x₁ + 11x₂ (max). (2.4)

Економічний смисл обмежень очевидний: вони виражають обмеженість ресурсів. Витрата дошок на один стіл дорівнює 5, отже, на весь запла­нований обсяг випуску цієї продукції буде витрачено 5х₁ дошок, а на випуск усього запланованого обсягу диванів – 8х₂.

Таким чином, загальні витрати дошок становитимуть 5х₁ + 8х₂, і вони, природно, не можуть перевищувати запас, що дорівняє 40. Діста­немо перше обмеження:

5х₁ + 8х₂ 40 (2.5)

Аналогічно записуємо обмеження щодо використання цвяхів і клею:

4х₁ + 6х₂ 26 (2.7)

2x₁ +x₂ 7 (2.7)

Із економічного смислу введених змінних – запланованих обсягів виробництва продукції – впливає їх невід’ємність:

x₁ 0; x₂ 0. (2.8)

Цільова функція (2.4), система основних обмежень (2.5)–(2.7) і умова невід’ємності (2.8) – це математична модель задачі раціонального використання ресурсів.

Задача зводиться до відшукання таких невід’ємних значень х₁ і х₂, які задовольняли б обмеження (2.5) – (2.7) і надавали максимуму функції (2.4).

У загальному вигляді задача раціонального використання ресурсів формулюється так.

Економічна постановка. Підприємство випускає n видів продукції, використовуючи m видів ресурсів. Відомо матрицю питомих витрат ресурсів

A = // a_ij // ( i = ; j = ),

де a_ij - кількість одиниць і-го виду ресурсів, що витрачаються на виробництво одиниці j -го виду продукції. Запаси ресурсів виражаються величиною b_i ( і = ), а прибуток - c_j ( j = ).

Треба скласти план виробництва продукції з наявних ресурсів, який забезпечує максимальний прибуток підприємству.

Математична модель. Позначимо шуканий запланований випуск продук­ції j-го виду x_j ( j = ). Тоді цільова функція, що виражає ви­могу максимізувати сумарний прибуток Z, набуває вигляду

Z = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n (max). (2.9)

Обмеження, що відображують той факт, що витрати ресурсів не можуть перевищувати їх запаси, миють вигляд

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n<b₁;

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n<b₂; (2.10)

…………………………………

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n<b_n

На змінні накладаються також умови невід’ємності:

x₁ 0; x₂ 0;…;x_n 0. (2.11)

Щоб розв’язати задачу, треба визначити невід’ємні значення змінних х₁,х₂,...,х_n, які задовольняють систему основних обмежень (2.10) і надають максимуму цільової функції (2.9).

Задача складання раціону

Економічна постановка. Для відгодівлі худоби можна використовувати два види кормів – зерно й сіно, які містять поживні речовини. Для трьох із них – білка, вітамінів і вуглеводів – задано мінімальні добові норми споживання.

Відомо вміст кожного виду поживних речовин у 1кг кожного виду кормів і вартість кормів. Треба скласти добовий раціон худоби, що відповідає вимогам поживності та мінімальної вартості.

Умовні вихідні дані наведено в табл. 2.2

Таблиця 2.2

Поживні речовини	Вид корму		Мінімальна добова норма
	Зерно	Сіно
Білок	20	2	80
Вітаміни	18	14	120
Вуглеводи	15	34	250
Вартість 1 кг. корму	8	1	-

Математична модель . Позначимо х₁ і х₂ заплановану кількість відповідно зерна й сіна, що йде на відгодівлю худоби. Набір значень цих двох змінних являє собою шуканий раціон. Виходячи з даних табл. 2.2 вартість раціону Z = 8x₁ + x₂ згідно з умовою задачі має бути міні­мальною. Отже, цільова функція задачі набуває вигляду

Z = 8x₁ + x₂ (min) (2.12)

Обмеження задачі відображують вимоги поживності. З раціоном x₁, x₂ худоба отримує 20x₁ + 2x₂ білка, вміст якого не може бу­ти меншим від мінімальної норми – 80. Дістаємо обмеження

20x₁ + 2x₂ 80. (2.13)

Аналогічний вигляд мають обмеження за вмістом у раціоні вітамінів і вуглеводів:

18х₁ + 14х₂ 120; (2.14)

15x₁ + 34x₂ 250.

Окрім того, очевидно, що з економічного смислу введених змінних випливає їх невід’ємність:

x₁ 0; x₂ 0. (2.15)

Цільова функція (2.12) і система обмежень (2.13)-(2.15) є математичною моделлю задачі складання раціону, що зводиться до відшукання зна­чень х₁ і х₂, які задовольняють (2.13)-(2.15) і надають мінімуму – (2.12).

У загальному вигляді задача складання раціону формулюється таким чином.

Економічна постановка. Для відгодівлі худоби можна використовувати n видів кормів, які містять m видів поживних речовин. Вміст кожної з поживних речовин в одиниці кожного виду корму задається матрицею А= //a_ij// (i = ; j = ), де a_ij - вміст i-ї поживної речовини в одиниці j-го виду корму.

Мінімальна добова норма становить b_i ( i= ), а вартість одиниці корму - c_j ( j = ).

Необхідно скласти добовий раціон, що задовольняє вимоги поживності та мінімальної вартості.

Математична модель. Позначимо кількість кормів, які йдуть на від­годівлю худоби, x₁,x₂,…,x_n. Тоді цільова функція, що виражає вимогу мінімізації вартості раціону, має вигляд

Z = c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n (min). (2.16)

Обмеження, що відображують вимогу поживності:

(2.17)

На змінні накладається також умова невід’ємності

x₁ 0; x₂ 0; …; x_n 0. (2.18)

Розв’язок задачі – набір значень змінних х₁, х₂,..., x_n , який задовольняє /2.17/ і /2.18/ і надає мінімуму цільовій функції.

У всіх розглянутих прикладах функції, що входять до математичної моделі, лінійні, тому всі ці задачі належать до ЗЛП.