5.3. Ризик та елементи теорії корисності Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення

Необхідно зазначити, що для задач прийняття рішень за умов невизначеності та ризику, принцип оптимальності нерідко буду­ють у вигляді функції корисності.

Корисність виражає ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії. Концепція функції корисності дає змогу здійснити співвимірність спожив­чих елементів різних фізично неспіввимірних товарів.

В економічному аналізі корисність часто використовується для опису пріоритетів за ранжування наборів споживчих товарів, послуг, варіантів можливих інвестицій тощо.

Для формального опису співвідношень пріоритету, а саме: «краще за», «байдуже» («еквівалентне»), «не гірше за» викорис­товують, відповідно, символи

Нагадаємо: якщо через х позначити набір товарів (послуг то­що), через X— множину всіх можливих наборів товарів, вважа­ючи при цьому, що вона є неперервною, то можна побудувати неперервну дійсну функцію U(x), визначену на елементах множини X, яку називають функцією корисності і для якої U(x) > U(y), якщо х у.

Поняття лотереї. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність

Необхідно звернути увагу на те, що для визначення кориснос­ті можна розглядати вибір особи за умов невизначеності та зумов­леного нею ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Під лотереєю L (x^*,р, х_*) ситуацію, в якій індивід може отримати х* з імовірністю р або з імовірністю 1 — р.

За Нейманом , корисність варіанта х визначається ймовір­ністю , за якої індивіду байдуже, що обирати: х — га­рантовано або лотерею де — варіант економічного ефекту (наприклад, обсяг грошової винагороди).

Зазначимо також, що за Нейманом як функцію корисності мож­на використати інтегральну функцію розподілу ймовірностей:

У випадку, коли L — лотерея, що приводить до виграшів (по­дій) з відповідними ймовірностями має місце основна формула теорії сподіваної корисності:

Тобто корисність ансамблю результатів збігається з мате­матичним сподіванням корисності результатів.

Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума. Премія за ризик

Детермінований еквівалент лотереї L — це гарантована сума

, отримання якої є еквівалентним участі в лотереї, тобто ~L Отже, визначається з рівняння:

де — функція, обернена до функції U(x).

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента із протилежним знаком:

СС(Х) =

Якщо особа, яка приймає рішення, стикається з несприятли­вою для неї лотереєю, природно запитати, скільки б вона запла­тила (в одиницях вимірювання критерію х), щоб не брати участі в цій лотереї. Для визначення розмірів цього платежу вводиться до розгляду величина, яку називають премією за ризик (надбавкою за ризик). Ця премія є величиною (в одиницях вимірюван­ня критерію х), якою суб'єкт управління (особа, яка приймає рі­шення) згоден знехтувати (поступитися) з середнього виграшу, щоб уникнути ризику, пов'язаного з лотереєю.

Зауважимо, що для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик у лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем і детермінованим еквівалентом, тобто: