
- •Розділ 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
- •Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання
- •Тема 2. Моделювання як метод наукового пізнання
- •Тема 3. Економіко-математичне моделювання
- •Тема 1. Сутність та елементи класифікації оптимізацій них задач
- •Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.
- •Стандартна форма канонічного вигляду злп
- •Форми запису злп. Основні означення
- •Тема 3. Методи розв’язування злп
- •2.3.1. Графоаналітичний метод розв’язування злп
- •2. 3.2 Поняття симплексного методу (см)
- •Побудова початкового опорного плану.
- •Оцінка оптимальності опорного плану.
- •2.3.3 Алгоритм симплексного методу.
- •Метод штучного базису (м-метод).
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних оптимізаційних задач Поняття двоїстості
- •Властивості розв’язків двоїстих пар задач
- •Двоїстий симплексний метод
- •Економічна інтерпретація симплексного метода. Економіко-математичний аналіз результатів розв’язку злп.
- •Тема 5. Транспортна задача
- •2.5.1. Постановка й математична модель транспортної задачі
- •Економічна постановка та математична модель закритої транспортної задачі
- •Економічні постановки та математичні моделі відкритих транспортних задач
- •Метод потенціалів
- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних процесів Постановка задачі дискретного лінійного програмування
- •Методи відсікання
- •Класичні методи оптимізації
- •Визначник цієї матриці
- •Узагальнений метод множників Лагранжа
- •Опукле програмування
- •Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Таккера
- •Поняття задачі квадратичного програмування
- •Розділ 3. Балансові моделі економіки
- •3.1. Теорія загальної рівноваги
- •3.2. Загальна схема міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.2.1. Класифікація мгб
- •3.2.2. Загальна схема та економіко-математична модель мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.3. Характеристика основних розділів мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.4. Характеристика основних параметрів мгб виробництва та розподілу продукції
- •Методи складання мгб на плановий період
- •3.3. Модифікації міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.3.1. Міжгалузевий трудовий баланс
- •3.3.2. Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу основних виробничих фондів
- •Розділ 4. Економіко-статистичні моделі Тема 1. Прогнозування
- •4.1.Сутність та значення економічного прогнозування
- •4.1.1. Часові ряди та їх показники динаміки
- •4.1.2. Методи згладжування часових рядів
- •4.1.3. Аналітичні методи згладжування динамічних рядів
- •Тема 2. Виробничі функції
- •4.2. Означення виробничої функції та її властивості
- •4.2.1. Економічні показники, обчислювані за допомогою виробничої функції
- •4.2.2. Зауваження з приводу коефіцієнту a функції Кобба-Дугласа
- •4.2.3. Побудова виробничої функції за емпіричними даними
- •Розділ 5. Моделювання економічного ризику
- •5.1. Ризик як економічна категорія. Об'єкт, суб'єкт, джерело ризику
- •Система постулатів стосовно ризику як економічної категорії
- •Концептуальні засади й аксіоматика ризикології
- •Невизначеність та ризик. Причини виникнення невизначеності та ієрархія її видів
- •Конфліктність, альтернативність, багатокритеріальність та багатоцільовість
- •Процес прийняття економічних рішень з урахуванням ризику
- •Аналіз ризикованості підприємства на підставі показників фінансового стану
- •Ризикотвірні чинники
- •Загальні засади класифікації ризику
- •Політичний ризик
- •Підприємницький ризик
- •Виробничий ризик
- •Фінансовий ризик
- •Інноваційний ризик
- •5.2. Основні підходи до кількісного аналізу ризику
- •Метод аналогій
- •Аналіз чутливості
- •Аналіз ризику методами імітаційного моделювання
- •Аналіз ризику можливих збитків
- •Загальні підходи до кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Імовірність як один із підходів до оцінювання ступеня ризику
- •Інгредієнт економічного показника
- •Кількісні показники ступеня ризику в абсолютному вираженні
- •5.3. Ризик та елементи теорії корисності Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення
- •Поняття лотереї. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність
- •Різне ставлення до ризику та функція корисності
- •Криві байдужості
- •Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику
- •5.4. Основні засади управління економічним ризиком. Принципи управління ринком
- •Основні способи управління ризиком
- •Узагальнена процедура управління економічним ризиком
- •Прийняття рішень з урахуванням ризику
- •Використання експерименту як чинника зниження ризику
- •5.5 Елементи теорії портфеля Сутність диверсифікації на прикладі моделі Марковіца
- •Визначення характеристик портфеля цінних паперів
- •Портфель з багатьох видів цінних паперів
- •Включення в портфель безризикових цінних паперів
- •Ринкова модель (однофакторна модель Шарпа формування норми прибутку)
- •Оцінювання систематичного та несистематичного ризиків
- •5.6. Моделювання економічного ризику на базі концепції теорії гри Теоретико-ігрова модель та її основні компоненти
- •Функціонал оцінювання
- •Матриця ризику
- •Класифікація інформаційних ситуацій
- •Прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі другої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі третьої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі п 'ятої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень, оптимальних за Парето
- •5.7.Ієрархічні моделі оцінювання економічного ризику та обґрунтування прийняття багатоцільових рішень Загальна ієрархічна модель та етапи її побудови
- •Теоретико-ігровий підхід до побудови багатоцільової моделі
- •Концептуальні проблеми розв 'язання багатоцільових і багатокритеріальних задач
- •Одноцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі однієї інформаційної ситуації
- •Обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •Багатоцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •5.8 Запаси та резерви як способи зниження ступеня ризику Структура та види резервів і запасів
- •Резервування грошових засобів на покриття випадкових витрат
- •Моделі оптимізації ступеня ризику та деякі стратегії формування запасів і резервів
- •5.9 Вартість, час та ризик Вартість і час
- •Модель рівноваги ринку капіталів (сарм)
- •Вплив ризику та інфляції на величину сподіваної норми відсотка (дисконту)
Імовірність як один із підходів до оцінювання ступеня ризику
У
багатьох випадках, зокрема у страхуванні,
величину (ступінь)
ризику W
визначають
як імовірність
настання
небажаних наслідків.
У такому разі:
Імовірність рн можна оцінити на підставі статистичних даних.
Так,
наприклад, у процесі аналізу можливих
збитків у якості однієї
з характеристик зон ризику можна
використовувати ймовірності
попадання у відповідні зони, а саме
—
у зону допустимого ризику,
—
у зону критичного ризику, Ркт
—
у зону катастрофічного
ризику. Ці ймовірності, за умови, що
відома інтегральна функція розподілу
ймовірностей, обчислюють за формулами:
,
У прикладних проблемах економічного ризику для оцінювання його величини широко використовують ймовірність перевищення заданого рівня збитків. Цю ймовірність обчислюють за формулою:
Здійснюючи аналіз ризику збитків, вирізняють такі три базові показники ризику:
1)показник
допустимого ризику:
показник
критичного ризику:
3)
показник катастрофічного ризику:
Інгредієнт економічного показника
Вважають, що економічний показник X (або його числова характеристика) має позитивний інгредієнт, якщо у процесі прийняття рішення орієнтуються на його максимальне значення. Для цих випадків записують, що Х= Х+.
Якщо
при прийнятті рішення орієнтуються на
мінімальне значення
економічного показника, то вважають,
що він має негативний
інгредієнт. У
цій ситуації пишуть, що
Кількісні показники ступеня ризику в абсолютному вираженні
Кількісна оцінка ступеня ризику має абсолютне вираження, якщо вона вимірюється в тих самих одиницях, що й економічний показник, на підставі якого вона була розрахована (наприклад, у гривнях).
Неабиякий
інтерес становить така оцінка ризику
невдачі, як величина
очікуваної невдачі (сподіване
значення, математичне сподівання).
У разі, коли всі можливі наслідки події
описуються дискретною
випадковою величиною
а розподіл імовірностей їх настання
ступінь ризику очікуваної невдачі визначають за формулою:
Якщо
несприятливі наслідки події описуються
неперервною випадковою
величиною
то:
де
—
щільність розподілу ймовірності
випадкової величини X.
У
разі, коли адекватною моделлю міри
невдачі є випадкова величина
із
несиметричним розподілом імовірності,
як оцінку
ступеня ризику доцільно використовувати
її модальне значення,
тобто
Слід зазначити, що у низці проблем, пов'язаних з економічним аналізом і прийняттям рішень за умов невизначеності або конфліктності, використовують (зважені) середньогеометричні величини відповідних економічних показників. Середньогеометричне доцільно використовувати в маркетингових дослідженнях для кількісного оцінювання рейтингу якості товарів і послуг, рейтингу підприємства, оцінювання дохідності (ставки відсотка) довгострокових фінансових інструментів тощо.
Зважене
середньогеометричне значення
у
випадку, коли
Х>
0,
визначають за формулою:
Якщо
X
є
дискретною випадковою величиною, тобто
,
то :
У ситуації, коли випадкова величина X набуває як додатних, так і від'ємних значень і є дискретною, зважену середньогеометричну оцінку можна знайти за формулою:
Де
,
(наприклад,
Під
час обчислення зваженої
середньогеометричної оцінки норми
прибутку цінного папера (чи
портфеля цінних паперів) покладають
X
= R/100
(R
—
норма прибутку), а
=
-1,
=
0. Тоді
Якщо
випадкова величина X
відображає
спектр можливих збитків
(платежів тощо), то зважене
середньогеометричне цієї величини
можна використовувати як оцінку ступеня
ризику очікуваної
невдачі в абсолютному вираженні, тобто
Слід
зауважити, що величини
та
можна
трактувати
як центри
групування значень економічного
показника X (випадкової
величини).
Як оцінку ступеня ризику в абсолютному вираженні часто використовують міру розсіювання значень економічного показника відносно центру групування цих значень. Зазвичай на практиці як центр групування значень економічного показника використовують його математичне сподівання, а для оцінки міри розсіювання відносно цього центра групування — дисперсію:
Для дискретної випадкової величини X дисперсію D(X) обчислюють за формулою:
Отже, дисперсія характеризує міру розсіювання випадкової величини X навколо її математичного сподівання.
Середньоквадратичним (стандартним) відхиленням випадкової величини X називають величину
Підхід до оцінювання ступеня ризику, що спирається на дисперсію (варіацію) чи середньоквадратичне відхилення, вважається класичним. Причому чим більшими будуть ці величини, тим більшим буде ступінь ризику, визначеного на підставі економічного показника X. Слід наголосити, що такий підхід використовують за будь-якого інгредієнта економічного показника.
Сучасний підхід до оцінювання ризику базується на тому, що ризик пов'язаний саме з несприятливими для менеджера (інвестора) ефектами, тож для його оцінювання достатньо брати до уваги лише несприятливі відхилення від сподіваної величини. Як оцінка ризику в цьому випадку використовується семіваріація, яка обчислюється за формулою:
де
—
індикатор несприятливих відхилень,
який визначають за формулою:
у
випадку сприятливого відхилення
у випадку несприятливого відхилення
у практичному плані зручніше (з огляду на вимірність величин) застосовувати семіквадратичне відхилення
:
Отже чим більшою буде величина SV(X) (чи SSV(Х)), тим більшим буде ступінь ризику.
Кількісні показники ступеня ризику у відносному вираженні
Треба зазначити, що у відносному вираженні оцінка ступеня ризику визначається як величина збитків, віднесена до певної бази, за яку найзручніше брати або майно підприємця, або загальні витрати ресурсів на цей вид підприємницької діяльності, або очікуваний прибуток.
У відносному вираженні оцінку ступеня ризику іноді визначають за допомогою коефіцієнта ризику:
де W- - коефіцієнт ризику, х — максимально можливий обсяг збитків (грош. од.), К — обсяг власних фінансових ресурсів з урахуванням точно відомих надходжень коштів.
Коли сподівані доходи одного проекту відрізняються від сподіваних доходів іншого проекту і стає недостатнім порівнювати лише показники варіації, тоді використовують коефіцієнт варіації, обчислюваний за формулою :
Коефіцієнту
варіації можна надати таке економічне
тлумачення,
це
величина ризику відхилень, що припадає
на одиницю сподіваного доходу. А тому
можна дійти висновку, що коефіцієнт
варіації має негативний інгредієнт і
може використовуватись як оцінка
ризику у відносному вираженні, тобто
.
У випадку використання семіквадратичного відхилення для оцінювання ризику у відносному вираженні обчислюють коефіцієнт семіваріації:
Задача.
Розглядаються три проекти щодо
інвестування: А,В,С. За прогнозами
аналітиків, у майбутньому можливий один
із трьох варіантів розвитку економіки
( три стани економіки) з імовірностями:
,
,
.
Залежно від стану економіки можливі
такі значення чистої теперішньої
вартості (NPV) цих проектів 9 у тис.грн.):
Інвестиційні проекти |
Можливі стани економіки |
||
1 |
2 |
3 |
|
А |
-500 |
500 |
-250 |
В |
-250 |
-250 |
500 |
С |
75 |
75 |
0 |
Необхідно порівняти привабливість для інвестування за показниками кількісної ефективності та ступеня ризику.
Розв’язання: