Тема 1. Сутність та елементи класифікації оптимізацій них задач

Математичне програмування, як один із головних інструментів науки дослідження операцій, полягає в розробленні методів розв’язування оптимізаційних задач та дослідження отриманого розв’язку.

Терміни "оптимум", "оптимальність", "оптимізація" походять від латинського слова optimus, що означає "найкращий", і використо­вуються для позначення розв'язку, найкращого з будь-якої фіксованої точки зору.

Основою правильного розуміння та вживання цих термінів є те, що оптимальний розв'язок не абсолютно кращий, а кращий у певному розумін­ні, тобто за будь-яким критерієм. Наприклад, вибираючи варіанти переїз­ду а одного міста в інше, можна скористатися літаком або поїздом. Лег­ко довести, що кожний розв'язок є оптимальним за відповідним критерієм.

Так, якщо мета - затратити на проїзд якомога менше часу, то з цих варіантів найкращим, безумовно, перший. Якщо мета - мінімум затрат на білет, оптимальним буде другий варіант,

Із цього найпростішого прикладу випливає, що поняття оптимальності та критерію взаємопов'язані. Вживати термін "оптимальний" коректно лише тоді, коли вказано критерій.

У загальному випадку під критерієм розуміють ознаку, на основі якої визначають, оцінюють і класифікують деякі об’єкти. Відповідно критерієм оптимальності називають ознаку /мірку/, що дає змогу за наявності двох варіантів визначити, який із них кращий, а якщо роз­глядають усю сукупність допустимих варіантів - вибрати найкращий, тобто оптимальний.

Критерії оптимальності можуть бути такими, що формалізуються або не формалізуються. В першому випадку на множині варіантів удається визначити функцію, зокрема скалярну. Тоді кожному варіанту ставиться у відповідність деяке число /наприклад, функція, що описує прибуток підприємства чи його затрати/. Порівняння варіантів зводиться до по­рівняння значень функції.

Означення 2.1. На функції задано відношення переваги, якщо її зна­ченням поставлено у відповідність оцінку "гірше - краще".

Прикладами критеріїв, що не формалізуються, є "добробут населен­ня", "корисність”, "екологічна шкода" тощо. Якщо треба розв’язати за­дачі з такими критеріями, роблять припущення, що дають можливість по­будувати деяку їх апроксимацію, що формалізується. Так, "добробут" описується як "тривалість життя", "дитяча смертність", "валовий на­ціональний доход на душу населення" тощо. Слід зазначити, що зведення критерію, що не формалізується, до критерію, який формалізується, є самостійною та складною задачею.

У цьому курсі розглядаються задачі лише зі скалярними критеріями оптимальності, що формалізуються.

Відзначимо ще одну найважливішу особливість поняття оптимальності. Задачу можна поставити так, що оптимальним за критерієм мінімуму часу на проїзд виявиться другий варіант. Дійсно, якщо кількості гро­шей /ресурси, потрібні для досягнення мети/ недостатньо для того, щоб купити білет на літак, то єдиним, а отже, найкращим варіантом, буде поїздка поїздом. Таким чином, у ході постановки практичних задач завжди треба враховувати забезпечення ресурсами процесу досягнення мети. Особливе значення воно має для розв'язування економічних задач. Усі види ресурсів, навіть ті, що відновлюються /вода, повітря тощо/ ,в кожний конкретний момент є обмеженим. Тому треба не лише вказувати мету – критерій оптимальності, а й враховувати ресурсні обмеження. Наприклад, у разі постановки задачі про функціонування підприємства як критерій оптимальності може виступати максимізація прибутку підприємства або мінімізація затрат, а як обмеження – запаси трудових, матеріальних, фінансових ресурсів або вимоги щодо номенклатури й кількості готових виробів.

При цьому слід уникати ще одного джерела некоректності постановок задач, на який посилаються багато авторів: “Вираз” максимуму продукції за мінімуму затрат” – логічно безглуздий. Мінімум затрат – це нуль: відсутність будь-яких затрат. А нульовим затратам відповідає й нульова продукція ...”^х.

Зазначена логічна суперечність має очевидну основу. Справа в тому, що на підприємстві, як, зрештою, й у більшості соціально-економічних систем, параметри взаємопов’язані: поліпшення одних показників призводить до погіршення інших. Тому розумна постановка вимагає, щоб поліпшення однієї групи показників відбувалося за фіксованих значень решти.

Використовуючи поняття “поліпшення” та “погіршення”, ми спираємося на наявність відношення переваги на функції, що описує критерій оптимальності. Зазначимо, що в більшості економічних задач відношення переваги е “монотонним”, тобто “чим більше значення функції, тим краще ” або “чим менше, тим краще”. Існують також критерії оптимальності, формалізовані описи яких мають “немонотонні” відношення переваги, наприклад, до деякого значення функції “чим більше, тим краще”, а після цього значення - “чим більше, тим гірше”.

У цьому курсі розглядаються економічні задачі з критеріями оптимальності, що мають “монотонні” відношення переваги.

У цьому разі формально задача полягає в пошуку екстремуму будь-якої функції за певних обмежень на змінні. Такі задачі називаються задачами пошуку умовного екстремуму. При цьому шуканий розв’язок є найкращим з точки зору заданого критерію. Отже, критерій дає змогу давати кількісну оцінку варіантів.

Означення 2.2 Оптимізаційною називається задача пошуку умовного екстремуму функції, на який задано відношення переваги.

Очевидно, що на всіх функціях, які мають економічний смисл, задано відношення переваги. Так, якщо деяка функція описує прибуток підприємства, то чим більше її значення, тим краще; якщо функція - транспортні витрати, то, очевидно, чим менше її значення, тим краще.

Означення 2.3. Функція, що є формалізованим описом критерію опти-мальності, називається цільовою.

Розв’язуючи оптимізаційні задачі, знаходять екстремальні значен­ня цільової функції.

У загальному вигляді математичну модель оптимізаційної задачі можна записати так:

цільова функція

Z (x₁,x₂,…,x_n,t) (extr), (2.1)

де t – час; extr – або max або min;

система основних обмежень, подана нерівностями або рівняннями,

q_i (x₁,x₂,…,x_n,t) D(i= ); (2.2)

спеціальні обмеженя, наприклад, по невід’ємності чи цілочисловості змінних,

(х₁,х₂,...х_n) D. (2.3)

У задачі треба відшукати набір залежних або не залежних від часу значень змінних х₁,х₂,...,х_n, що задовольняє обмеження (2.2) і (2.3) та надає цільовій функції заданого вигляду екстремуму на будь-який момент часу або інтегрально за період [О,Т] .

Предметом математичного програмування є розробка методів розв’язування оптимізаційних задач.

Методи пошуку умовного екстремуму, розроблені в класичній мате­матиці, зокрема метод множників Лагранжа, для більшості оптимізаційних задач неприйнятний, оскільки екстремальні точки лежать на межі припус­тимої множини, яка задається системою обмежень (2.2),(2.3), тобто там, це функції недиференційовані.

Окрім того, для задач (2.1)-(2.3) не вдається запропонувати універ­сальний метод розв'язування, оскільки вигляд функцій, які входять до математичної моделі, істотно визначає принципи розв'язування, що використовуються.

Наведемо класифікацію задач математичного програмування. Якщо в (2.1)-(2.3) час t має явний вигляд, то поставлена задача належить до класу задач динамічного програмування; в противному разі - до класу задач статичного програмування. Якщо про всі параметри й змінні є до­стовірна інформація, задача належить по класу детермінованих. Якщо серед параметрів і змінних зустрічаються випадкові величини, то задача належить до класу стохастичних. Якщо всі функції, що входять до математичної моделі, лінійні, то задача називається задачею лінійного програмування /ЗЛП/, у противному разі - задачею нелінійного програму­вання. Серед останніх виділяються задачі опуклого, квадратичного та сепарабельного програмування. Особливе місце посідають задачі, у яких цільова функція та система обмежень лінійні, однак на змінні накла­дається умова цілочисловості. Ці задачі належать до класу нелінійних, дискретних задач, так званих задач цілочислового програмування /ЗЦЛП/.

Розглянемо деякі приклади оптимізаційних задач, що належать до класу ЗЛП.