4.2.2. Зауваження з приводу коефіцієнту a функції Кобба-Дугласа

Як ми уже відзначили, якщо регресори і регресант вимірювати в вартісному еквіваленті, то різниця

дорівнює вартості прибавочного продукту, створюваного у процесі виробництва. У випадку функції Кобба-Дугласа:

.

Очевидно, що значення параметрів і змінних повинні бути такими, щоб , тому що в протилежному випадку виробництво не має сенсу. Наприклад, якщо у процес виробництва вкладено дві грошові одиниці в такий спосіб: , то для рентабельності необхідно . Однак параметри макроекономічної виробничої функ­ції носять об'єктивний характер, тому, у процесі інвестування потрібна варіація , щоб досягти рентабельності виробництва. Відразу скажемо, що будемо брати у відношенні оптимальної фондовоозброєності:

.

Позначаючи весь вкладений капітал , тобто , отримуємо:

; .

У результаті отриманий прибавочний продукт:

.

Оскільки , то можливі наступні випадки:

1. , тоді

виробництво стає рентабельним при

.

Таким чином,

є нижньою границею необхідного стартового капіталу.

2. , тоді

виробництво залишається рентабельним при

.

3. Розглянемо випадок .

Виробництво буде рентабельним при будь-якому , однак, необхідно, щоб параметри задовольняли співвідношенню

.

Як приклад, розглянемо виробничі функції валового внутрішнього продукту США:

;

і Росії:

(за даними 1990-1994р.).

Одержуємо мінімальні значення стартового капіталу:

• США: доларів

• Росія: карбованців.

Навіть з огляду на курси валют очевидно, що відкрити підприємство в умовах американської економіки набагато легше.

Зрозуміло, що значення в основному залежить від величини параметра .

Таким чином, малі значення цього параметра, отримані при економіко-статистичних дослідженнях, говорять про негативні тенденції в економіці і суспільстві, у першу чергу за рахунок недосконалості законодавства і податкової політики.

Відзначимо, що реальна величина мінімального стартового капіталу ( ) трохи більше за розраховану. Справа в тому, що - це вартість не всіх виробничих фондів, а тільки тієї частини, що перенесена на вироблену продукцію вартістю . Крім того для оцінювання величини краще користатися не виробничою функцією валового внутрішнього продукту, а більш специфічною галузевою виробничою функцією.

4.2.3. Побудова виробничої функції за емпіричними даними

Нехай нам дані емпіричні дані по 12 підприємствам деякої галузі у вигляді таблиці:

33500	5050	356
16000	400	192
21455	2143	230
33675	3098	314
25886	2267	276
45700	5170	422
35000	4500	522
35264	1580	332
38232	3650	376
45000	3550	443
28400	2056	304
48000	3500	580

В якості одиниці виміру обрана кількість одиниць устаткування, - кількість людино-годин, вимірюють у грошових одиницях. Зауважимо, що якщо відомі ціна устаткування і ціна робочої сили, зручніше всі три величини визначати в грошових одиницях, однак тоді отримані в результаті обчислень параметри виробничої функції, взагалі кажучи, будуть іншими.

Будемо шукати виробничу функцію Кобба-Дугласа

.

Щоб звести нашу задачу до побудови лінійної моделі, логарифмуємо:

.

За властивостями логарифмів, отримуємо:

.

Виконуючи заміну:

переходимо до лінійної моделі:

.

Таким чином, отримуємо наступну таблицю:

33500	5050	356	10,4193	8,527144	5,874931
16000	400	192	9,680344	5,991465	5,257495
21455	2143	230	9,973713	7,669962	5,438079
33675	3098	314	10,42451	8,038512	5,749393
25886	2267	276	10,16146	7,726213	5,620401
45700	5170	422	10,72985	8,550628	6,045005
35000	4500	522	10,4631	8,411833	6,257668
35264	1580	332	10,47062	7,36518	5,805135
38232	3650	376	10,55143	8,202482	5,929589
45000	3550	443	10,71442	8,174703	6,09357
28400	2056	304	10,25414	7,628518	5,717028
48000	3500	580	10,77896	8,160518	6,363028

Тепер нам потрібно скласти систему нормальних рівнянь:

Матричний метод одержання цієї системи вже був розглянутий вище. Запишемо нормальну систему традиційним способом, заповнивши таблицю:

N
1	10,4193	8,527144	5,874931	72,71218	34,51481	50,09638	88,84687	61,21267
2	9,680344	5,991465	5,257495	35,89765	27,64126	31,5001	57,99944	50,89436
3	9,973713	7,669962	5,438079	58,82832	29,57271	41,70986	76,498	54,23784
4	10,42451	8,038512	5,749393	64,61768	33,05552	46,21656	83,79756	59,93461
5	10,16146	7,726213	5,620401	59,69436	31,58891	43,42441	78,50958	57,11146
6	10,72985	8,550628	6,045005	73,11324	36,54209	51,68859	91,74699	64,86202
7	10,4631	8,411833	6,257668	70,75893	39,1584	52,63845	88,01387	65,47462
8	10,47062	7,36518	5,805135	54,24588	33,69959	42,75586	77,11799	60,78335
9	10,55143	8,202482	5,929589	67,28072	35,16003	48,63735	86,5479	62,56563
10	10,71442	8,174703	6,09357	66,82577	37,13159	49,81312	87,58718	65,28905
11	10,25414	7,628518	5,717028	58,19428	32,68441	43,61245	78,22392	58,62323
12	10,77896	8,160518	6,363028	66,59406	40,48813	51,92561	87,96187	68,5868
	124,6218	94,44716	70,15132	748,763	411,2374	554,0187	982,8512	729,5757

Таким чином, система нормальних рівнянь має вигляд:

Зауважимо, що матрицю коефіцієнтів і стовпець вільних членів для системи нормальних рівнянь можна отримати як відповідно добуток матриць та , де:

;

- матриця, транспонована по відношенню до

Для матриці коефіцієнтів знаходимо обернену, яка має назву кореляційної:

Далі знаходимо параметри , перемноживши кореляційну матрицю і стовпець вільних членів:

Отримаємо рівняння тренда лінеаризованної моделі:

.

Робимо обернену заміну:

Тому виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд:

.

У першу чергу необхідно перевірити адекватність побудованої моделі емпіричним даним. Тут зробимо дуже важливе зауваження:

Для перевірки адекватності, дослідження значимості регресорів та знаходження довірчого проміжку використовують винятково лінеаризовану модель, а саме .

Справа в тому, що застосований математичний апарат розроблений для моделей, у яких параметри кореляційного рівняння входять лінійно.

Отже, перевіримо адекватність. Для цього спочатку складемо наступну таблицю:

№
1	10,4193	10,48435	0,00984	0,004232
2	9,680344	9,737334	0,41967	0,003248
3	9,973713	10,06759	0,100844	0,008814
4	10,42451	10,33568	0,002448	0,007891
5	10,16146	10,20556	0,032254	0,001945
6	10,72985	10,60959	0,050372	0,014463
7	10,4631	10,74613	0,130303	0,080103
8	10,47062	10,29548	0,008042	0,030675
9	10,55143	10,48497	0,009963	0,004417
10	10,71442	10,5997	0,046031	0,013159
11	10,25414	10,26347	0,014808	0,000087
12	10,77896	10,79199	0,165519	0,00017
	124,6218	-	0,990096	0,169204

В цій таблиці і - відповідно фактичне і розрахункове значення регресанту в лінеаризованій моделі, - кількість експериментів, - середнє значення регресанта, що обчислюється за формулою:

.

Далі, знаходимо розрахункове значення величини за формулою:

,

де

, а - кількість ступенів свободи, причому - число експериментів, а - число параметрів у кореляційному рівнянні. У нашому випадку

.

По таблицях розподілу Фішера знаходимо :

.

Оскільки , робимо висновок про те, що математична модель з надійністю 0,95 адекватна емпіричним даним. (ще раз нагадаємо, що надійність визначають за формулою ).

Тепер перевіримо значущість регресорів. Зауважимо, що проблема значущості регресорів до деякої міри аналогічна проблемі тісноти зв’язку у теорії парної кореляції. З цією метою для кожного регресора знаходимо величину:

.

Тут: - коефіцієнт регресору ;

- відповідний діагональний елемент матриці ;

(верхній лівий елемент розуміють як );

- кількість експериментів;

- кількість параметрів у кореляційному рівнянні; - сума квадратів різниць між розрахунковими і фактичними значеннями регресанту.

Отримаємо:

;

.

З таблиць розподілу Стьюдента для кількості ступенів свободи й імовірності маємо: . (Різниця визначає кількість ступенів свободи.)

Якщо , то регресор вважають значимим, у протилежному випадку роблять висновок про те, що регресор не впливає істотно на регресант. Ми одержали:

• для регресора : ;

• для регресора : .

Це означає, що в досліджуваній галузі вирішальну роль у збільшенні прибутку грає додаткове залучення живої праці , а не витрати на основні виробничі фонди (тому що , а ).

Тепер знайдемо прогнозне значення виробничої функції, якщо основні виробничі фонди складають одиниць устаткування, а витрати праці людино-годин. Оскільки для цього необхідно скористатися лінійною моделлю, знаходимо:

, .

Підставляючи ці значення в лінійне рівняння регресії, отримуємо точкову оцінку:

.

Точкова оцінка для обсягу продукції складе:

грошових одиниць.

Довірчий проміжок з надійністю знаходять таким чином:

,

де

- точкова оцінка регресанту, що отримана з рівняння регресії, яке відповідає обраним значенням регресорів ;

- кількість експериментів,

- кількість параметрів кореляційного рівняння,

- критичне значення при заданому для величини, що має розподіл Стьюдента з ступенями свободи.

Розрахункова дисперсія обчислюється за формулою:

,

де:

- - вимірний вектор (стовпець), перша координата якого дорівнює 1, інші координати – обраним значенням регресорів , тобто він має вигляд:

,

(не змішувати вектор зі згаданою раніше матрицею розміру !);

- уже знайдена нами матриця ;

- кількість експериментів;

- кількість параметрів кореляційного рівняння;

- сума квадратів різниць між розрахунковими і фактичними значеннями регресанту.

У нашому випадку отримаємо:

звідси .

Враховуючи те, що

;

одержимо:

;

чи

.

Тепер знаходимо довірчий проміжок для регресанту :

або

.

Таким чином, з надійністю можна стверджувати, що фактичне значення регресанту для і буде знаходитися в проміжку .

Знайдемо вирази основних характеристик для знайденої нами виробничої функції :

середня фондовіддача:

;

середня продуктивність праці:

;

гранична фондовіддача:

;

гранична продуктивність праці:

;

еластичність випуску за основними виробничими фондами:

;

еластичність випуску за витратами праці:

;

гранична норма заміщення:

.

На закінчення відзначимо, що існують і інші виробничі функції.

Наприклад, лінійна:

.

Недоліком такої моделі є те, що вона відповідає не всім неокласичним критеріям (перевірте!).

Однак вона зручна для роботи з вузьким полем експерименту, а саме, у невеликому околі точки , де і - найбільш типові для досліджуваної галузі значення витрат на основні виробничі фонди та оплату праці.

Варто ще згадати виробничу функцію Леонтьева:

,

де - норми витрат капіталовкладень в основні виробничі фонди,

- норми витрат праці.

Сенс її такий: додатково притягнутий ресурс викликає прямо пропорційний зріст обсягу зробленої продукції лише тільки доти, поки є в наявності резерв іншого ресурсу. Це означає, зокрема, що варто наймати нового робітника лише в тому випадку, якщо для нього є вільне робоче місце. Функція Лєонтьєва не дозволяє заміщати один ресурс іншим. Тому її можна застосовувати для дослідження невеликої кількості однотипних підприємств із сформованою структурою виробництва.

Як показує малюнок, ізоквантами функції Леонтьєва є пари променів, що утворюють прямий кут.

І нарешті, функція з постійною еластичністю заміщення – так називана CES (читається як «си-и-эс» і є абревіатурою вираз Constant Elasticity of Substitution):

Тут - показник ступеня однорідності функції. Еластичність заміщення ресурсів для CES знаходять за формулою:

.

Як ми бачимо, виробнича поверхня CES дуже схожа на виробничу поверхню Кобба-Дугласа.

Можна показати, що інші згадані функції є граничними випадками функції CES:

1)при лінійна функція;

(еластичність заміщення )

2) при функція Кобба-Дугласа;(еластичність заміщення )

3) при функція Леонтьева;

(еластичність заміщення , тобто заміна одного ресурсу іншим неможлива.)

Крім цих функцій існують ще виробничі функції зі змінною еластичністю заміщення (VES), однак їхній розгляд виходить за межі даного курсу.