Тема 2. Виробничі функції

4.2. Означення виробничої функції та її властивості

Досягнення високих кінцевих результатів виробництва неможливо без урахування об’єктивних залежностей, існуючих між вихідними умовами та кінцевими результатами виробництва.

Одним із засобів такого урахування є вивчення функції, де аргументи – ресурси виробництва, а значення функції – кількість виробленої продукції. Такі функції називають виробничими функціями.

В загальному вигляді виробнича функція має вигляд:

,

де - об’єми ресурсів, а - кількість виготовленої продукції.

Іншими словами, виробнича функція – це економіко-математичне співвідношення результатів виробничої діяльності та факторів виробництва.

Параметри, які входять в у аналітичний вираз виробничої одиниці знаходять методами регресійного аналізу, тому інколи виробничу функцію називають виробничою регресією.

Економіко-математичні моделі, можуть бути як дина­міч­ними, так і статичними, тобто можуть бути залежними від часу, або ні.

Частіше застосовують виробничу функцію від двох змінних, які найбільше впливають на результат виробництва. Результат виробництва вимірюється одним вартісним показником, наприклад, показником валової продукції. В той самий час, виробничі ресурси характеризують двома показниками, а саме, витратами основного капіталу та праці. Тому в подальшому будемо розглядати виробничу функцію від двох змінних:

,

де - вартість виробничих фондів,

- витрати праці.

Зазначимо, що, кажучи про вартість виробничих фондів, ми маємо на увазі не всю вартість, а тільки їх частину, перенесену на виробництво продукції вартості .

Нагадаємо, оскільки аналітичний вираз не залежить від часу, говорять, що дана функція є статичною. У протилежному випадку виробничу функцію називають динамічною. Зауважимо, що якщо всі три змінні вимірювати в грошовому вимірі, має слушність вираз:

;

де - вартість, створюваного в процесі виробництва прибавочного продукту.

Виробнича функція повинна відповідати наступним вимогам.

1) Якщо і то . З економічної точки зору це означає, що взаємодія трудових ресурсів і виробничих фондів приводить до виробництва продукту.

2) Якщо , то . Це означає необхідність для процесу виробництва наявності обох ресурсів.

3) Позитивність частинних похідних:

; .

Це віддзеркалює факт зростання обсягу виробництва при збільшенні використання одного з ресурсів при незмінному споживанні іншого.

4) Для частинних похідних другого порядку повинні виконуватися вимоги:

Справа в тому, що для процесу виробництва справедливий закон спадної прибутковості (LAW OF DIMINISHING RETURNS). Сформульований у вісімнадцятому столітті Томасом Мальтусом і Давидом Рикардо, він стверджує, що будь-яке підприємство досягає у своїй діяльності такої межі, за якою продуктивність додаткових вкладень в один ресурс (при незмінному використанні інших) спадає в порівнянні з віддачею від попередніх. Графічно для основних виробничих фондів це виглядає таким чином:

Виходячи з геометричного сенсу похідної, маємо:

Графік показує, що:

(тому що ). Переходячи до границі, отримуємо:

аналогічно має слушність:

Перш ніж сформулювати п'яту вимогу, дамо наступне означення. Функція називається однорідною функцією ступеня , якщо для всіх точок з області її визначення і будь-якого дійсного числа виконується рівність:

.

Наприклад, розглянемо функцію . Підставимо замість і відповідно і :

.

Таким чином, - однорідна функція третього ступеня . Зокрема, якщо , говорять, що функція є лінійно-однорідною.

Сформулюємо тепер наступну вимогу до виробничої функції.

5) Виробнича функція повинна бути однорідною. З економічної точки зору це означає, що при збільшенні використання всіх ресурсів у раз, обсяг продукції зростає в раз.

Покажемо, що не будь-яку функцію можна розглядати як виробничу. Наприклад,

; .

Виконання умови 1) тут очевидно. Умова 2) не виконується, тому що при і має місце . Тепер знайдемо частинні похідні:

; .

Якщо і , то внаслідок того, що , виконується вимога 3):

; .

Для частинних похідних другого порядку:

Умова 4) вимагає: і , що суперечить умові .

Таким чином, наведена функція , де , не може бути виробничою.

Найбільш часто в економічній практиці зустрічається виробнича функція Кобба-Дугласа:

,

де - деякі параметри.

Очевидно, що вона є виробничої не при всіх значеннях цих параметрів, тому визначимо обмеження, при яких ця функція буде задовольняти умовам 1)-5). Надалі ці умови будемо називати неокласичними.

1) Якщо і , то , тобто , тому .

2) Із рівності , тобто для функції Кобба-Дугласа, виконується умова 2.

3) Диференціючи функцію, отримуємо:

; .

З умови 3) випливає, .

4) Для частинних похідних другого порядку маємо:

;

,

тому .

Отже, із третьої і четвертої умов випливають обмеження:

і

5) Підставимо замість і відповідно і :

Таким чином, функція Кобба-Дугласа є однорідною функцією ступеня . З економічної точки зору це означає, що якщо збільшити використання обох ресурсів у раз, то обсяг виготовленої продукції зросте в раз, оскільки .

Коли вперше розглядали функцію Кобба-Дугласа, ставилася умова . Це умова разом з першими чотирма умовами, що накладаються на виробничу функцію, називалися класичними. Якщо , то це свідчить про певні економічні тенденції. Якщо , то при збільшенні обсягів використання ресурсів, наприклад у два рази, обсяг продукції, що виробляється, зростає більш ніж у два рази. Це свідчить про притаманну цій галузі тенденцію до розширення відповідних підприємств. Така ситуація характерна для радіоелектроніки, літакобудування та ін. Навпаки, ситуація коли притаманна для сільського господарства, легкої і харчової промисловості. У цьому випадку дворазове збільшення обсягів використаних ресурсів дає збільшення обсягу продукції менш ніж у два рази.

Зауважимо, що аналітичний вираз функції Кобба-Дуг­ла­са не залежить від часу, тому дана виробнича функція є статичною. Крім того, вона припускає незмінність технологічного процесу. У випадку зміни технології, викликаної науково-технічним прогресом, не всі умови, що накладаються на виробничу функцію, виконуються. Зокрема, при збільшенні капіталовкладень в основні виробничі фонди за рахунок використання нових технологій, обсяг продукції, що виробляється, різко зростає.

Тому в період упровадження досягнень науково-технічного прогресу крива залежності обсягу продукції від капіталовкладень (при сталих витратах праці ) має вигляд:

Як видно з графіку, при певному рівні основних фондів друга похідна стає додатною. Таким чином, четверта неокласична умова не виконується.

Очевидно, що параметри виробничої функції виявляються залежними від часу і тому в загальному випадку виробнича функція Кобба-Дугласа має вид:

,

(тут змінна - час).

Однак, для знаходження залежностей , і необхідний настільки великий обсяг статистичної інформації, зібраної протягом досить тривалого відрізка часу, що задача стає практично нездійсненою. Проте для коротких відрізків часу використовується виробнича функція Кобба-Дугласа-Тінберхена:

,

де - час,

- коефіцієнт, що відбиває вплив технічного прогресу. Для високорозвинених промислових країн у 1950-1977 роках виробничі функції мали такі параметри:

Країна
США	0,447	0,553	0,034
Великобританія	0,506	0,494	0,0053
Японія	0,397	0,607	0,0466

Побудовані виробничі функції дозволяють зробити деякі економічні висновки про особливості розвитку вказаних країн.

Перш за все, в повоєнні роки найбільші результати у застосуванні досягнень науково-технічного прогресу до виробництва мали місце в Японії.

Темп технічного прогресу тут був у 3,48 разів більше ніж у Великобританії.

У той же час, японський шлях розвитку був найменш капіталоємним у порівнянні з американським та англійським. Еластичність випуску продукції по основних фондах в японській економіці (0,397) менше відповідних показників в американській та англійській економіці (0,447; 0,506).

Інакше кажучи, кожний процент збільшення основних виробничих фондів забезпечує найменше зростання темпів приросту економіки в цілому, якщо порівнювати з іншими країнами. Найбільш капіталоємним став розвиток економіки Великобританії: величина еластичності за основним капіталом в цій країні перевищує еластичність за витратами праці, що свідчить про відносно меншу ефективність використання трудових ресурсів.