
- •Розділ 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
- •Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання
- •Тема 2. Моделювання як метод наукового пізнання
- •Тема 3. Економіко-математичне моделювання
- •Тема 1. Сутність та елементи класифікації оптимізацій них задач
- •Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.
- •Стандартна форма канонічного вигляду злп
- •Форми запису злп. Основні означення
- •Тема 3. Методи розв’язування злп
- •2.3.1. Графоаналітичний метод розв’язування злп
- •2. 3.2 Поняття симплексного методу (см)
- •Побудова початкового опорного плану.
- •Оцінка оптимальності опорного плану.
- •2.3.3 Алгоритм симплексного методу.
- •Метод штучного базису (м-метод).
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних оптимізаційних задач Поняття двоїстості
- •Властивості розв’язків двоїстих пар задач
- •Двоїстий симплексний метод
- •Економічна інтерпретація симплексного метода. Економіко-математичний аналіз результатів розв’язку злп.
- •Тема 5. Транспортна задача
- •2.5.1. Постановка й математична модель транспортної задачі
- •Економічна постановка та математична модель закритої транспортної задачі
- •Економічні постановки та математичні моделі відкритих транспортних задач
- •Метод потенціалів
- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних процесів Постановка задачі дискретного лінійного програмування
- •Методи відсікання
- •Класичні методи оптимізації
- •Визначник цієї матриці
- •Узагальнений метод множників Лагранжа
- •Опукле програмування
- •Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Таккера
- •Поняття задачі квадратичного програмування
- •Розділ 3. Балансові моделі економіки
- •3.1. Теорія загальної рівноваги
- •3.2. Загальна схема міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.2.1. Класифікація мгб
- •3.2.2. Загальна схема та економіко-математична модель мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.3. Характеристика основних розділів мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.4. Характеристика основних параметрів мгб виробництва та розподілу продукції
- •Методи складання мгб на плановий період
- •3.3. Модифікації міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.3.1. Міжгалузевий трудовий баланс
- •3.3.2. Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу основних виробничих фондів
- •Розділ 4. Економіко-статистичні моделі Тема 1. Прогнозування
- •4.1.Сутність та значення економічного прогнозування
- •4.1.1. Часові ряди та їх показники динаміки
- •4.1.2. Методи згладжування часових рядів
- •4.1.3. Аналітичні методи згладжування динамічних рядів
- •Тема 2. Виробничі функції
- •4.2. Означення виробничої функції та її властивості
- •4.2.1. Економічні показники, обчислювані за допомогою виробничої функції
- •4.2.2. Зауваження з приводу коефіцієнту a функції Кобба-Дугласа
- •4.2.3. Побудова виробничої функції за емпіричними даними
- •Розділ 5. Моделювання економічного ризику
- •5.1. Ризик як економічна категорія. Об'єкт, суб'єкт, джерело ризику
- •Система постулатів стосовно ризику як економічної категорії
- •Концептуальні засади й аксіоматика ризикології
- •Невизначеність та ризик. Причини виникнення невизначеності та ієрархія її видів
- •Конфліктність, альтернативність, багатокритеріальність та багатоцільовість
- •Процес прийняття економічних рішень з урахуванням ризику
- •Аналіз ризикованості підприємства на підставі показників фінансового стану
- •Ризикотвірні чинники
- •Загальні засади класифікації ризику
- •Політичний ризик
- •Підприємницький ризик
- •Виробничий ризик
- •Фінансовий ризик
- •Інноваційний ризик
- •5.2. Основні підходи до кількісного аналізу ризику
- •Метод аналогій
- •Аналіз чутливості
- •Аналіз ризику методами імітаційного моделювання
- •Аналіз ризику можливих збитків
- •Загальні підходи до кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Імовірність як один із підходів до оцінювання ступеня ризику
- •Інгредієнт економічного показника
- •Кількісні показники ступеня ризику в абсолютному вираженні
- •5.3. Ризик та елементи теорії корисності Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення
- •Поняття лотереї. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність
- •Різне ставлення до ризику та функція корисності
- •Криві байдужості
- •Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику
- •5.4. Основні засади управління економічним ризиком. Принципи управління ринком
- •Основні способи управління ризиком
- •Узагальнена процедура управління економічним ризиком
- •Прийняття рішень з урахуванням ризику
- •Використання експерименту як чинника зниження ризику
- •5.5 Елементи теорії портфеля Сутність диверсифікації на прикладі моделі Марковіца
- •Визначення характеристик портфеля цінних паперів
- •Портфель з багатьох видів цінних паперів
- •Включення в портфель безризикових цінних паперів
- •Ринкова модель (однофакторна модель Шарпа формування норми прибутку)
- •Оцінювання систематичного та несистематичного ризиків
- •5.6. Моделювання економічного ризику на базі концепції теорії гри Теоретико-ігрова модель та її основні компоненти
- •Функціонал оцінювання
- •Матриця ризику
- •Класифікація інформаційних ситуацій
- •Прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі другої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі третьої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі п 'ятої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень, оптимальних за Парето
- •5.7.Ієрархічні моделі оцінювання економічного ризику та обґрунтування прийняття багатоцільових рішень Загальна ієрархічна модель та етапи її побудови
- •Теоретико-ігровий підхід до побудови багатоцільової моделі
- •Концептуальні проблеми розв 'язання багатоцільових і багатокритеріальних задач
- •Одноцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі однієї інформаційної ситуації
- •Обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •Багатоцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •5.8 Запаси та резерви як способи зниження ступеня ризику Структура та види резервів і запасів
- •Резервування грошових засобів на покриття випадкових витрат
- •Моделі оптимізації ступеня ризику та деякі стратегії формування запасів і резервів
- •5.9 Вартість, час та ризик Вартість і час
- •Модель рівноваги ринку капіталів (сарм)
- •Вплив ризику та інфляції на величину сподіваної норми відсотка (дисконту)
4.1.2. Методи згладжування часових рядів
Методи згладжування часових рядів поділяються на дві групи:
механічне згладжування окремих рівнів часового ряду, яке не потребує знань про аналітичний вид функції, що згладжує часовий ряд;
аналітичне згладжування, з використанням певної кривої, яка відображає тенденцію, притаманну ряду.
Розглянемо два методи механічного згладжування:
метод простої ковзної середньої;
метод простого експоненційного згладжування.
При
використанні першого методу головне
припущення полягає в тому, що часовий
ряд будується за формулою yt
= bt+
,
де
- невідомий параметр, який знаходиться
на базі вхідної інформації,
– випадкова помилка, середнє значення
якої
,
а
– стала величина.
Крім
того припускаємо, що дані для різних
періодів часу не корельовані, тобто
коваріація
і
дорівнює нулю.
Метод простої
ковзної середньої припускає, що всі
спостережень застосовуються з однаковою
вагою для оцінки параметра
.
Тобто, якщо в заданий момент часу останні
рівнів є
,
,
...,
,
то
,
де
– оцінюване значення для моменту часу
.
Відсутній чіткий метод для визначення
числа
– бази методу, який використовує ковзну
середню. Якщо є підстави вважати, що
спостереження довготривалі і узгоджені
з моделлю yt
= bt+
,
то варто вибирати великі значення
.
Якщо ж дані спостережень задовольняють
заданій моделі на протязі коротких
проміжків часу, то можна брати
малим. На практиці
змінюється від 2 до 10.
Недоліком методу є його застосування лише для рядів, які мають лінійну тенденцію.
Як приклад розглянемо динамічний ряд реалізації нафтопродуктів протягом 15 років однією із компаній, зведений до таблиці (табл. 4.4).
Таблиця 4.4
T |
1986 |
1987 |
1988 |
1989 |
1990 |
1991 |
1992 |
1993 |
1994 |
1995 |
1996 |
1997 |
1998 |
1999 |
2000 |
V |
170 |
120 |
105 |
156 |
189 |
170 |
167 |
205 |
178 |
156 |
189 |
235 |
203 |
267 |
239 |
де Т – роки, V – об’єм реалізації в млн. тон.
В системі координат
на площині побудуємо точки з координатами
,
а потім з’єднаємо їх відрізками прямих
і одержимо емпіричну лінію регресії
(рис. 4.1).
Рис.
4.1
Спостерігаючи одержану лінію, ми бачимо, що протягом часу кількість реалізованих нафтопродуктів має тенденцію зростання. Однак, лінія має зигзагоподібний характер, що пояснюється чинниками, які не завдають постійного впливу на обсяг реалізації нафтопродуктів. Цей вплив пояснюється довгостроковими (циклічними) та випадковими коливаннями. Якщо розглянути реалізацію нафтопродуктів на протязі декількох років по місяцям, то впевнимось в тому, що відповідна ломана буде мати ще більш зигзагоподібний характер. Це пов’язано з тим, що, наприклад, в зимові місяці кількість нафтопродуктів буде більшою, ніж в середньому за рік (в зв’язку з опалювальним сезоном). Наступний пік спостерігається в квітні-травні (посівна компанія), в липні-серпні (жнива).
Тобто,
вид емпіричної лінії залежить від різних
факторів. Нас цікавить вивчення залежності
обсягу реалізації від фактору часу в
цілому, а саме, по якій лінії можна
вирівняти задану емпіричну лінію. Для
розв’язування цього питання нам треба
зневілювати (провести згладжування)
впливу інших факторів. Для цього
використаємо метод ковзної середньої,
тобто, для кожного значення регресанту
,
починаючи з другого і закінчуючи
передостаннім, розглянемо середнє
значення
,
тобто
.
Наприклад,
(в середньому це відповідає 1987 року).
Щоб не втратити перший і останній рівні, їх згладжують за формулами:
;
;
(для
1988 року).
В нашому випадку:
;
Результати обчислень зведемо до таблиці 4.5.
Таблиця 4.5
|
|
|
1986 |
170 |
164,1667 |
1987 |
120 |
131,6667 |
1988 |
105 |
127 |
1989 |
156 |
150 |
1990 |
189 |
171,6667 |
1991 |
170 |
175,333 |
1992 |
167 |
180,6667 |
1993 |
205 |
183,333 |
1994 |
178 |
179,6667 |
1995 |
156 |
174,3333 |
1996 |
189 |
193,3333 |
1997 |
235 |
209 |
1998 |
203 |
235 |
1999 |
267 |
263,3333 |
2000 |
239 |
254,3333 |
За одержаними даними побудуємо нову лінію регресії (рис. 4.2).
Рис. 4.2
З графіку випливає, що вона має більш згладжений вигляд в порівнянні з попередньою. Ще більш згладжений вигляд буде мати лінія, якщо для обчислення ковзної середньої будемо брати не три значення ( ) регресанту, а чотири, п’ять і так далі.
Але неважко помітити, що при збільшені , тобто при збільшені числа доданків в чисельнику ковзної середньої, кількість експериментальних точок буде зменшуватись. Тому ми повинні вибрати таку кількість доданків (тобто базу ), щоб отримана емпірична лінія мала гладкий вигляд, а з іншого боку, щоб кількість емпіричних точок була достатньою для побудови емпіричної лінії регресії. Після згладжування лінії регресії можна вибрати тренд і знайти параметри його рівняння. В подальшому для побудови теоретичної моделі тренду використовують вже згладжений динамічний ряд, тобто дані, зведені до таблиці 4.6.
Таблиця 4.6
|
|
1986 |
164,1667 |
1987 |
131,6667 |
1988 |
127 |
1989 |
150 |
1990 |
171,6667 |
1991 |
175,333 |
1992 |
180,6667 |
1993 |
183,333 |
1994 |
179,6667 |
1995 |
174,3333 |
1996 |
193,3333 |
1997 |
209 |
1998 |
235 |
1999 |
263,3333 |
2000 |
254,3333 |
В системі нормальних
рівнянь замість значень
будемо використовувати значення ковзних
середніх
.
Слід зауважити, що використання
незгладженого ряду може привести до
неадекватного вибору тренду. Якщо ж
довгострокові (циклічні), сезонні,
випадкові коливання незначні, то
використання методу ковзної середньої
недоцільно.
Розглянемо ще метод простого експоненційного згладжування. Ідея методу полягає в тому, щоб усунути недоліки методу ковзної середньої, пов’язані з тим, що всі дані при визначенні середньої мають однакову вагу.
Метод експоненційного згладжування надає найбільшу вагу останньому спостереженню, а вага попередніх спадає геометрично.
Визначимо
величину
,
як постійну згладжування (
).
Якщо відомі рівні часового ряду
для минулих моментів
,
то оцінка
для моменту часу
обчислюється за формулою:
.
Коефіцієнти
при
,
,
і так далі поступово зменшуються, тобто
ця процедура надає більшу вагу останнім
(за часом) спостереженням.
Формулу для обчислення можна привести до слідуючого більш простого вигляду:
,
,
при цьому
.
Таким
чином, значення
можна обчислити, користуючись отриманою
рекурентною формулою. Із рекурентної
формули випливає, що
.
Вибір постійної згладжування є основним вирішальним моментом при обчисленні значень прогнозної величини.
Велике
значення
приписує більшу вагу останнім
спостереженням. На практиці постійна
згладжування
приймає значення на сегменті
,
тобто
.
Як приклад, розглянемо динамічний ряд числа проданих кондиціонерів за 24 місяці (табл. 4.7).
Таблиця 4.7
1 |
22 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
46 |
56 |
54 |
43 |
57 |
56 |
67 |
62 |
50 |
56 |
47 |
56 |
54 |
42 |
64 |
60 |
70 |
66 |
57 |
55 |
53 |
62 |
70 |
72 |
Виберемо
.
Отримані значення
зведемо до таблиці 4.8.
Таблиця 4.8
|
|
|
1 |
46 |
– |
2 |
56 |
46 |
3 |
54 |
|
4 |
43 |
|
5 |
57 |
|
6 |
56 |
|
7 |
67 |
|
8 |
62 |
|
9 |
50 |
|
10 |
56 |
|
11 |
47 |
|
12 |
56 |
|
13 |
54 |
|
14 |
42 |
|
15 |
64 |
|
16 |
60 |
|
17 |
70 |
|
18 |
66 |
|
19 |
57 |
|
20 |
55 |
|
21 |
52 |
|
22 |
62 |
|
23 |
70 |
|
24 |
72 |
|
25 |
|
|
Універсальним же методом попереднього вибору кривих зростання є метод середніх та граничних характеристик приросту. Він застосований на використанні окремих характеристик властивостей кривих, які були розглянуті вище.
При
цьому методі вхідний часовий ряд
попередньо згладжується методом простої
ковзної середньої. Наприклад, для
інтервалу згладжування
згладжені рівні розраховуються за
формулою
.
Щоб не втратити перший і останній рівні
їх згладжують за формулами:
;
.
Далі
розраховуються перші середні прирости
,
;
другі середні прирости
,
а також ряд похідних величин:
;
;
;
.
Якщо
перший середній приріст
майже однаковий, то вибирається поліном
першого порядку (пряма).
Якщо перший середній приріст змінюється лінійно, то вибирається поліном другого порядку (парабола).
Поліном
третього порядку вибирають, якщо другий
середній приріст
змінюється лінійно. Просту експоненту
вибирають в випадку, якщо величина
майже однакова, модифіковану експоненту
– якщо величина
змінюється лінійно.
Крива Гомперця та логістична крива використовуються, наприклад, в демографії.
Експоненційно можна згладжувати не тільки сам ряд, а і коефіцієнти тренду, лінійного або ж експоненційного, коефіцієнти сезонності, тощо.
Параметр згладжування в моделі також може бути не постійною, а змінною величиною.
Відповідні методи називаються методами адаптивного згладжування.