Тема 3. Економіко-математичне моделювання
Математичне моделювання економічних процесів є складним і важким процесом. Хоча в цьому деякою мірою “винна” математика, орієнтована на потреби фізики та техніки, але головна причина полягає в природі економічних процесів, специфіці економічної науки.
Більшість об’єктів, що вивчаються економічною наукою, можна охарактеризувати кібернетичним поняттям “складна система”.
Система – це сукупність елементів, що взаємодіють і утворюють деяку цілісність, єдність. Для будь - якої системи важливою є емерджентність – наявність таких властивостей, що не характерні жодному з елементів, які входять у систему (емерджентні властивості). Тому при вивчені систем недостатньо, а іноді й неможливо користуватися методом їх розчленування. Одна з труднощів економічних досліджень полягає в тому, що в більшості економічних об’єктів їх не можна розглядати як окремі елементи.
Складність будь-якої системи визначається також кількістю елементів, що входять до неї, зв’язками між цими елементами та взаємовідносинами між системою й середовищем. До найскладніших належать цілеспрямовані системи, тобто такі, розвиток яких підпорядковується досягненню визначених цілей, і самоорганізовані системи, здатні в процесі функціонування змінювати свою структуру та організацію. Загальні економічні системи (економічні регіони, галузеві та міжгалузеві комплекси та ін.) наділені всіма ознаками дуже складних систем.
Труднощі вивчення економічних систем визначаються не лише їх об’єктивними властивостями, а й особливостями взаємодії об’єктів і суб’єктів дослідження, тому що людина є водночас і найважливішим елементом виробничих сил (трудові ресурси), і носієм виробничих відносин.
Складність економіки в інші періоди розглядалась як обгрунтування неможливості її моделювання та вивчення засобами математики.
У подальшому математичні моделі економічних процесів і явищ називатимемо економіко-математичними. Економіко-математичною моделлю, за визначенням академіка В.С.Немчинова, називається сукупність математичних співвідношень (рівнянь, нерівностей), що описують вивчений об’єкт, явище, які об’єднані в єдине ціле.
Економіко-математичні моделі класифікують за різними ознаками.
Так, за цільовим призначенням ці моделі поділяються на теоретико-аналітичні та прикладні. Перші застосовують для дослідження загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, а другі – при розв’язанні конкретних економічних проблем.
Залежно від характеру використання результатів дослідження розрізняють дискриптивні та нормативні моделі. Дискриптивні моделі відповідають на питання, як це відбувається або як це не може розвиватися далі, тобто вони є моделями аналізу минулого розвитку, прогнозування економічних процесів. Нормативні моделі відповідають на питання, як це має бути, тобто передбачають цілеспрямовану діяльність. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимізаційних задач.
За способом відбиття причинно-наслідкових зв’язків визначають детерміністські та стохастичні моделі, тобто такі, які враховують випадкові та невизначені чинники.
За формою математичних залежностей розрізняють лінійні та нелінійні моделі, причому цей розподіл важливий не лише з математичної, а й із теоретико-економічної точки зору. Теорія “лінійної економіки” істотно відрізняється від теорії “нелінійної економіки”. Тому часто застосовувана апроксимація нелінійних співвідношень лінійними може призвести до значних спотворень дійсності.
За типом використовуваних змінних розрізняють моделі з неперервними та дискретними змінними.
За способом відбиття чинника часу економіко-математичні моделі поділяють на статичні та динамічні. Статистичні моделі нібито дають “фотографію” процесу на даний момент. Динамічні описують процес, що змінюється в часі, тобто в динаміці.
Залежно від використаного математичного апарату при описі моделі та її реалізації розрізняють балансові моделі економіки – апарат лінійної алгебри; економіко-статистичні моделі – математичної статистики; оптимізаційні моделі – математичного програмування; моделі теорії масового обслуговування – теорія імовірностей.
Наведена класифікація аж ніяк не повна. У процесі економіко-математичних досліджень, з одного боку, ознаки класифікації ускладнюються, а з іншого – відбувається процес інтеграції моделей різного типу.
Складність економічних процесів і явищ утрудняє не лише побудову математичних моделей, а й перевірку їх правильності, адекватності, тобто версифікацію економіко-математичних моделей, яка є серйозною методологічною проблемою.
Раніше ми вже розглянули основні етапи процесу моделювання. У кожній галузі знань метод моделювання має певні особливості, у тому числі й економіко-математичне моделювання. Розрізняють шість етапів процесу математичного моделювання економіки: постановка економічної проблеми та її якісний аналіз; побудова математичної моделі; математичний аналіз моделі; підготовка вихідної інформації; числове розв’язання; аналіз числових результатів та їх застосування.
На першому етапі головне завдання полягає в тому, щоб чітко сформулювати суть проблеми, припущення (передумови), що приймаються, а також питання, на які треба дати відповіді. Потрібно відокремити найважливіші риси та властивості модельованого об’єкта і основні залежності, що пов’язують його елементи; сформулювати гіпотези, які пояснюють поводження та розвиток об’єкта.
Побудова математичної моделі – етап формалізації проблеми, зображення її у вигляді конкретних математичних залежностей. Це складний процес, який, у свою чергу, поділяють на кілька стадій – визначення основної конструкції (типу) моделі; вивчення можливостей її застосування; уточнення деталей цієї конструкції. Вимоги до моделі протилежні. З одного боку, надмірні складність і громіздкість моделі ускладнюють процес дослідження та формування інформаційного і математичного забезпечення; витрати на моделювання можуть перевищити одержуваний ефект. З іншого боку, надмірне спрощення моделі може призвести до втрати особливостей об’єкта дослідження і статися таке, що “за деревами не видно лісу”. Відмітна особливість математичних моделей полягає в тому, що їх застосовують для розв’язання різноманітних задач. Тому при розв’язанні економічної задачі не потрібно одразу складати модель, а треба намагатися використати вже відомі моделі.
Метою математичного аналізу моделі є з’ясування загальних властивостей моделі – обгрунтування існування розв’язків або єдиного розв’язку; стійкість розв’язку, тобто в яких межах і залежно від яких вихідних умов він змінюється. Цей аналіз виконують суто математичними засобами дослідження; моделі складних економічних об’єктів з великими труднощами піддаються такому дослідженню, і тому дослідники свідомо спрощують початкову модель для з’ясування загальних властивостей.
Найбільш трудомісткий етап економіко-математичного моделювання – підготовка вихідної інформації. Моделювання висуває жорсткі умови до вихідної інформації, водночас реальні можливості одержання інформації обмежують вибір моделей, призначених для практичного використання. При цьому враховують не лише принципову можливість одержання інформації, а й терміни її одержання та витрати на підготовку.
Етап числового розв’язання передбачає розробку алгоритмів розв’язання, складання програм на ЕОМ і безпосереднє виконання розрахунків. Основні труднощі цього етапу зумовлені багатовимірністю економічних задач і потребою обробки великих масивів інформації.
На завершальному етапі циклу – аналізі числових результатів та їх застосування – вирішують дуже складне питання: про правильність і повноту результатів моделювання, а також ступінь їх практичного застосування. Строгої теорії перевірки правильності економіко-математичних моделей немає. Тому це питання завжди вирішують конкретно на основі порівняння одержаних теоретичних висновків і числових результатів з відомими властивостями, згідно з якими побудовано модель.
Зв’язки етапів економіко-математичного моделювання показано на мал. 1.3. де суцільними стрілками позначено послідовні зв’язки етапів, а пунктирними – їх зворотні зв’язки (коригування).
мал. 1.3
Зворотні зв’язки етапів зумовлюються тим, що в процесі дослідження виявляються недоліки рішень, прийнятих на попередніх етапах, або неможливість їх практичної реалізації. Вже на етапі побудови моделі можна з’ясувати: постановка задачі суперечлива або призводить до складної математичної моделі, що потребує її коригування. Математичний аналіз може показати, наприклад, що невелика модифікація постанови дає цікавий аналітичний результат. Найчастіше потреба коригування попередніх етапів моделювання з’являється при підготовці вихідної інформації – інформація або відсутня, або витрати на неї надто великі. Подальші етапи також важливі, оскільки може виявитися, що за допомогою відомих алгоритмів і програм для ЕОМ неможливо розв’язати задачу в початковому вигляді.
Порівняння етапів економіко-математичного моделювання із загальною схемою моделювання дає таке: етапи 1 і 2 відповідають етапу 1 загальної схеми, етапи 3-5 – етапу 2 загальної схеми, етап 6 включає етапи 3 і 4 загальної схеми.
Далі розглянемо економіко-математичні моделі, які класифікують залежно від використовуваного математичного апарату.
Короткий історичний нарис. Примінення математики в економіці
Математика примінюється в економіці в двух аспектах : як засіб обчислення і як засіб наукового пізнання.
Засновик політекономії швейцарський вчений У.Петті і французький вчений Ф.Кене в своїх роботах використовували математику. Петті в своїй роботі «Математична теорія багатства» в передмові писав «Вместо того чтобы употреблять слова в сравнительной и превосходной формах, я перешел на путь изложения своих мыслей с помощью чисел, весов и мер». Це є метод примінення математики як засобу обчислення. Таблиця Ф. Кене, яка є першой графіко-числовою моделлю економіки Франції того часу є одною із перших в приміненні математичних моделей в економічних дослідженнях.
В екномічниій науці ХІХ – ХХ ст. можно виділити три напрямки економіко-математичного дослідження:
математична школа в політекономії
статистичний напрямок
економетрика
Ці напрямки відрізнялися не тільки різними поглядами на економічну науку, а й були послідовні в часі.
Засновником матиматичної школи в політиекономії був
французький вчений Курно. Вчені цього напрямку внесли дуже великий вклад в розвиток економічної науки. Сьогоднішна економічна наука користується такими поняттями, як теорія загальної рівноваги Вальраса, кривими байдужості Еджворта, поняттями багатоцільового оптимума Паретто, коефіцієнтами прямих і повних витрат праці і матеріальних ресурсів Дмітрієва та іншими. Недоліком цього напрямку є те, що вони перевищували роль математики, стверджували , що тільки той висновок може бути економічною закономірністю, який підкріплений відповідним математичним співвідношенням. Те що непідкріпленно цим, може, в кращому випадку, сприйматися як гіпотеза.
2.Статистичний напрямок характеризувався дуже великим вкладом в розробці методології та методики обробки економічної інформації. Представники цього напрямку виходили з того, що при виявленні конкретного економічного явища не потрібно виходити із деякої теорії, вона сама повина виявитися в результаті цього практичного дослідження.
3.Економетрика – представники цього напрямку зробили попитку об’єднати краще, що належить обом попереднім напрямкам. Норвезький вчений Фріш, який в 1930р. перше ввів цю назву провозгласив що економетрика – це синтез політекономії і математики і статистики.
В сьогоднішній економічній науці виділяється четвертий напрямок – синиргетика.Значущість математики в економічній науці підтверджується і тим, що з 1969р, року з якого присуджується Нобелівська Премія в області економіки, більшість лауреатів є єконометриками.
Розділ 2. Оптимізаційні моделі економіки