3.2.4. Характеристика основних параметрів мгб виробництва та розподілу продукції

До основних параметрів МГБ належать коефіцієнти прямих, опосереднених і повних витрат, які називаються технологічними і характеризують витрати продукції однієї галузі на виробництво продукції іншої.

Коефіцієнтом прямих витрат а_iJ називають кількість продукції і-ї галузі, необхідної для виробництва одиниці валової продукції j-ї галузі. Очевидно, таких коефіцієнтів має бути n² для n галузей матеріального виробництва; їх можна записати у вигляді квадратної матриці, яку позначимо А:

.

З означення коефіцієнта прямих витрат випливає формула для його обчислення:

, , (3.3)

де х_iJ – міжгалузевий потік; х_J – валовий продукт j-ї галузі.

Коефіцієнти прямих витрат розраховуються у натуральному та вартісному вираженнях. У натуральному вираженні – це норми витрат продукції одного виду на виробництво продукції іншого, у вартісному – витрати продукції однієї галузі на 1 грн. валової продукції іншої.

Насправді існують складніші зв‘язки, коли витрати продукції одного виду на виробництво продукції іншого здійснюються не тільки безпосередньо, а і опосереднено через споживання інших продуктів, тобто опосереднені витрати.

Ланцюжок витрат на виробництво прокату показано на рис. 3.1.

Рис.3.1

Безперечно, цей ланцюжок можна продовжити необмежено, тобто існують опосереднені витрати будь-якого порядку. Якщо йдеться про опосереднені витрати продукції одного виду на виробництво одиниці продукції іншого, то розглядаються коефіцієнти опосереднених витрат.

Велике поширення в економічній літературі знайшло означення коефіцієнтів повних витрат як суми коефіцієнтів прямих витрат і відповідних коефіцієнтів опосереднених витрат всіх порядків. Таке означення вперше ввів В.К.Дмітрієв (Дмитриев В.К. Экономические очерки. СПб., 1904). Дуже поширена і така трактовка, що коефіцієнти повних витрат виражають кількість продукції однієї галузі, необхідної для виробництва одиниці кінцевої продукції іншої галузі.

Коефіцієнти повних витрат можна розрахувати двома методами. Один із них ґрунтується на означенні цих коефіцієнтів, тобто як сума коефіцієнтів прямих і опосереднених усіх порядків витрат, а інший назвемо методом оберненої матриці.

Перший метод проілюструємо на умовному прикладі. Розглянемо виробництво продукції трьох видів, для якого відомі коефіцієнти прямих витрат (табл.3.4).

Таблиця 3.4.

Виробнича продукція	Споживаюча продукція
	А	В	С
А	0	0,2	0,1
В	0,3	0	0,7
С	0,4	0,5	0

Для скорочення розрахунків у прикладі припустимо, що жодний із продуктів на власне виробництво не витрачається (а₁₁ = а₂₂ = а₃₃ = 0). Потрібно розрахувати коефіцієнти повних витрат продукції А, В, С на одиницю продукції А. Процес послідовного розрахунку опосереднених витрат показано на рис.3.2.

Цифри в дужках означають відповідні коефіцієнти прямих витрат, а за дужками – опосереднені витрати на виробництво одиниці продукції А. Наприклад, коефіцієнт прямих витрат продукції В на одиницю продукції А дорівнює 0,3. Проте на одиницю продукції В витрачається 0,2 од. продукції А і 0,5 од. продукції С. Отже, опосереднені витрати 1-го порядку, зумовлені продукцією В, становлять  од. продукції А і  од. продукції С. Аналогічно розраховують інші опосереднені витрати.

Обчислимо опосереднені витрати 1- та 2-го порядків продукцій А, В, і С на виробництво продукції А:

Опосереднені Опосереднені

витрати 2-го витрати 1-го

порядку порядку

Рис. 3.2

опосереднені витрати 1-го порядку

А = 0,06+0,04 = 0,1

В = 0,28

С = 0,15

опосереднені витрати 2-го порядку

А = 0,015+0,056 = 0,071

В = 0,018+0,105+0,012 = 0,135

С = 0,024+0,016+0,14 = 0,18.

Повні витрати продукцій А, В і С на одиницю продукції А приблизно складають:

А – 0+0,1+0,071 = 0,171,

В – 0,3+0,28+0,135 = 0,715,

С – 0,4+0,15+0,18 = 0,73.

У цьому прикладі ми обмежились опосередненими витратами 2-го порядку, оскільки, по-перше, розрахунок опосереднених витрат 3-го і 4-го порядку надто громіздкий. По-друге, при збільшенні порядку опосереднених витрат їх значення набагато зменшується. Тому на практиці цим методом не користуються, а якщо користуються, то обмежуються витратами 2-го порядку, рідше – 3-го. Можна вивести рекурентні співвідношення для обчислення коефіцієнтів опосереднених витрат будь-якого порядку.

Для обгрунтування методу оберненої матриці, запишемо систему рівнянь розподілу продукції, тобто систему (3.2), у такому вигляді:

, .

Підставивши замість х_iJ їх вираження з формули (3.3), дістанемо

, , ,

дістанемо систему

, .

або в іншому вигляді

Х₁ = а₁₁Х₁ + а₁₂Х₂+…+а_1nX_n+y₁,

Х₂ = а₂₁Х₁ + а₂₂Х₂+…+а_2nX_n+y_2,

Х_n = а_n1Х₁ + а_n2Х₂+…+а_nnX_n+y_n.

Цю систему рівнянь можна записати в вигляді матричного рівняння

X = AX + Y,

де Х – матриця-стовпець валових продуктів галузей; А – відома матриця коефіцієнтів прямих витрат; Y – матриця-стовпець кінцевих продуктів галузей.

Використовуючи одиничну матрицю, дістаємо матричне рівняння

Y = (E-A)X, (3.4)

згідно з яким за заданою матрицею коефіцієнтів прямих витрат і матрицею валових продуктів усіх галузей можна обчислити матрицю кінцевих продуктів.

У рівнянні (3.4) можна виразити Х через Y. Для цього помножимо зліва ліву та праву частини цього рівняння на матрицю (Е-А)^-1:

Х = (Е-А)^-1 Y. (3.5)

Матриця (Е-А)^-1 є матрицею коефіцієнтів повних витрат, яку позначають В, а її елементи - b_iJ. Отже, b_iJ – витрати продукції і-ї галузі на одиниці кінцевого продукту j-ї галузі.

Для вияснення змісту коефіцієнтів повних витрат розглянемо ще такий процес. На першому кроці приймаємо, що в склад кінцевого продукту входить тільки одиниця продукції першої галузі. На другому кроці в склад кінцевого продукту входить одиниця продукції другої галузі і т.п., тобто на кожному кроці кінцева продукція характеризується матрицею-стовпцем, всі елементи якої нулі, окрім одного, який дорівнює одиниці. Позначимо:

Е_і – квадратна матриця n-го порядку, в якій елемент а_іі = 1, а всі інші нулі;

Х_і – квадратна матриця n-го порядку, і-й стовпець якої – валові випуски галузей для цього кроку, а елементи всіх інших стовпців дорівнюють нулю.

Тоді кожний крок процесу запишеться відповідним рівнянням:

(E – A) X₁ = E₁

(E – A) X₂ = E₂

_{- - - - - - - - - - - - - - - - -}

(E – A) X_n = E_n.

Знайдемо суму цих рівнянь:

(E – A) (X₁ + X₂ + … +X_n ) = E₁ + E₂ + … + E_n, або

(E – A) B = E, де B = X₁ + X₂ + … + X_n.

B – матриця, стовпці якої характеризують валові випуски галузей, достатні для одержання одиниці кінцевого продукту відповідної галузі. З означення оберненої матриці випливає, що B = (E – A)^-1. З цієї точки зору слідує, що коефіцієнти повних витрат b_ij виражають валовий випуск i-ї галузі, необхідний для виробництва одиниці кінцевого продукту j-ї галузі для " i = i j = .

З іншого боку. Розв’яжемо матричне рівняння: X = A X + Y наближеним методом.

Знаходження матриці валових випусків X, узгодженої з матрицею кінцевих випусків Y здійснимо в вигляді ітерацій:

X_{( k + 1 )} = A X_{( k )} + Y (3.6).

На першій ітерації – визначаємо матрицю валових випусків X_(o), не обов’язково узгоджену з матрицею кінцевих випусків Y. Знаходимо X₍₁₎ по відомим Y i X_(o) за формулою (3.6):

X₍₁₎ = A X_(o) + Y.

На другій ітерації обчислюємо X₍₂₎ по відомим X ₍₁₎ i Y:

X₍₂₎ = A X₍₁₎ + Y = A [ A X_(o) + Y ] + Y = A² X_(o) + A Y + Y = = ( E + A ) × Y + A²X_(o).

На третій ітерації одержуємо:

X₍₃₎ = A X₍₂₎ + Y = A [ ( E + A ) Y + A² X_(o) ] +Y = = A E Y + A² Y + A³ ·X_(o) +Y = = ( E + A + A² ) Y + A³ X_(o).

Продовжуючи послідовність визначення матриці X за допомогою визначеної на попередньому кроці, на k+1-ітерації одержуємо:

X_{( k + 1)} = ( E + A + A² + A³ + … + A^k ) Y + A^k+1 X_(o).

Розглянемо збіжність ряду:

E + A + A² + A³ + … + A^k + …

Для цього оцінимо величину (рівень) коефіцієнтів матриці A^k. Оцінку проведемо при припущенні, що норма матриці коефіцієнтів прямих витрат A менше 1, тобто || A || < 1. В лінійній алгебрі однією із норм матриці A є max , тобто, якщо || A || < 1, то це значить, що

Тоді a_ij < || A || ; Знайдемо A² = A· A, позначивши

коефіцієнти A² через a_ij ⁽²⁾, тоді

_n

a_ij ⁽²⁾ = S a_ik a_kj.

^k=1

Знайдемо суми коефіцієнтів матриці A² за стовпцями і оцінимо їх величини, визначивши верхню границю:

_{n n n n n}

S a_ij⁽²⁾ = S S a_ik a_kj = S ( S a_ik ) a_kj £ || A ||².

^{i=1 i=1 k=1 k=1 i=1}

Звідси, a_ij⁽²⁾ £ || A ||². Аналогічно оцінюємо рівень коефіцієнтів a_ij^(k) матриці A^k:

0 £ a_ij^(k) £ || A ||^k,

так як || A ||^k = 0 при || A || < 1, то a_ij^(k) = 0. Таким чином, ряд

E + A + A² + … + A^k + … збіжний при k®¥ і його сума скінчена. Позначимо її через матрицю B:

B = E + A + A² + … + A^k + … (3.7).

Помножимо ліву і праву частини виразу ( 3.7 ) зліва на матрицю

( E – A ), тоді

( E – A ) B = ( E – A ) ( E + A + A² + … + A^k + … ) =

= E + A + A² + … + A^k + … - A – A² - … - A^k - … = E.

Тобто

B = (E – A)^-1.

В ираз (3.7) – це розклад матриці B в ряд. З цього розкладу можна зробити висновок, що, так як a_ij ³ 0, то b_ii ³ 1 + + a_ii i b_ij ³ a_ij, . Очевидно також, якщо y_i ³ 0 " i = 1, n, то x_j ³ 0 (аналіз 3.7).

Розклад матриці B можна записати і в вигляді:

B = E + A + A² ( E – A )^-1, (3.8)

дійсно ( E – A )^-1 = E + A + A² ( E – A )^-1 « ( E – A )^-1 – A² ( E – A )^-1 =

= E + A ® ( E – A )^-1 ( E – A² ) = = E + A ® ( E – A )^-1 ( E – A ) ( E + A ) = =E + A ® E + A = E + A,

або

С=B – E = A + A² ( E – A )^-1 (3.9)

Як видно із (3.7), точніше матрицю C називати матрицею коефіцієнтів повних витрат і тоді вони виражають суму коефіцієнтів прямих витрат і відповідних коефіцієнтів опосереднених витрат всіх порядків, що підтверджує вираз (3.9).

Таким чином, між коефіцієнтами c_ij i b_ij є якісна і кількісна відповід­ність. Коефіцієнти c_ij є сумою всіх матеріальних витрат прямо або опосереднено витрачених на виробництво одиниці продукції j. При цьому, одиниця цієї продукції розглядалась як кінцева мета суспільного виробництва. Коефіцієнти b_ij містять повні виробничі витрати c_ij і саму одиницю кінцевої продукції (для i = j), яку також потрібно виробити, але яка не є витратами виробництва в вузькому розумінні. Таким чином, економічна відмінність між коефіцієнтами c_ij i b_ij полягає в тому, що c_ij виражають взаємозв’язок проміжного і кінцевого продуктів, а b_ij – взаємозв’язок валового і кінцевого продуктів. Тому більшість вчених – економістів Радянського Союзу коефіцієнти і називали коефіцієнтами повних витрат і трактували як норми витрат кінцевого продукту.