
- •Розділ 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки
- •Тема 1. Економіка як об’єкт моделювання
- •Тема 2. Моделювання як метод наукового пізнання
- •Тема 3. Економіко-математичне моделювання
- •Тема 1. Сутність та елементи класифікації оптимізацій них задач
- •Тема 2. Лінійні оптимізаційні моделі економіки.
- •Стандартна форма канонічного вигляду злп
- •Форми запису злп. Основні означення
- •Тема 3. Методи розв’язування злп
- •2.3.1. Графоаналітичний метод розв’язування злп
- •2. 3.2 Поняття симплексного методу (см)
- •Побудова початкового опорного плану.
- •Оцінка оптимальності опорного плану.
- •2.3.3 Алгоритм симплексного методу.
- •Метод штучного базису (м-метод).
- •Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних оптимізаційних задач Поняття двоїстості
- •Властивості розв’язків двоїстих пар задач
- •Двоїстий симплексний метод
- •Економічна інтерпретація симплексного метода. Економіко-математичний аналіз результатів розв’язку злп.
- •Тема 5. Транспортна задача
- •2.5.1. Постановка й математична модель транспортної задачі
- •Економічна постановка та математична модель закритої транспортної задачі
- •Економічні постановки та математичні моделі відкритих транспортних задач
- •Метод потенціалів
- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних процесів Постановка задачі дискретного лінійного програмування
- •Методи відсікання
- •Класичні методи оптимізації
- •Визначник цієї матриці
- •Узагальнений метод множників Лагранжа
- •Опукле програмування
- •Задача опуклого програмування. Теорема Куна-Таккера
- •Поняття задачі квадратичного програмування
- •Розділ 3. Балансові моделі економіки
- •3.1. Теорія загальної рівноваги
- •3.2. Загальна схема міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.2.1. Класифікація мгб
- •3.2.2. Загальна схема та економіко-математична модель мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.3. Характеристика основних розділів мгб виробництва та розподілу продукції
- •3.2.4. Характеристика основних параметрів мгб виробництва та розподілу продукції
- •Методи складання мгб на плановий період
- •3.3. Модифікації міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції
- •3.3.1. Міжгалузевий трудовий баланс
- •3.3.2. Міжгалузевий баланс виробництва та розподілу основних виробничих фондів
- •Розділ 4. Економіко-статистичні моделі Тема 1. Прогнозування
- •4.1.Сутність та значення економічного прогнозування
- •4.1.1. Часові ряди та їх показники динаміки
- •4.1.2. Методи згладжування часових рядів
- •4.1.3. Аналітичні методи згладжування динамічних рядів
- •Тема 2. Виробничі функції
- •4.2. Означення виробничої функції та її властивості
- •4.2.1. Економічні показники, обчислювані за допомогою виробничої функції
- •4.2.2. Зауваження з приводу коефіцієнту a функції Кобба-Дугласа
- •4.2.3. Побудова виробничої функції за емпіричними даними
- •Розділ 5. Моделювання економічного ризику
- •5.1. Ризик як економічна категорія. Об'єкт, суб'єкт, джерело ризику
- •Система постулатів стосовно ризику як економічної категорії
- •Концептуальні засади й аксіоматика ризикології
- •Невизначеність та ризик. Причини виникнення невизначеності та ієрархія її видів
- •Конфліктність, альтернативність, багатокритеріальність та багатоцільовість
- •Процес прийняття економічних рішень з урахуванням ризику
- •Аналіз ризикованості підприємства на підставі показників фінансового стану
- •Ризикотвірні чинники
- •Загальні засади класифікації ризику
- •Політичний ризик
- •Підприємницький ризик
- •Виробничий ризик
- •Фінансовий ризик
- •Інноваційний ризик
- •5.2. Основні підходи до кількісного аналізу ризику
- •Метод аналогій
- •Аналіз чутливості
- •Аналіз ризику методами імітаційного моделювання
- •Аналіз ризику можливих збитків
- •Загальні підходи до кількісного оцінювання ступеня ризику
- •Імовірність як один із підходів до оцінювання ступеня ризику
- •Інгредієнт економічного показника
- •Кількісні показники ступеня ризику в абсолютному вираженні
- •5.3. Ризик та елементи теорії корисності Концепція корисності. Пріоритети та їх числове відображення
- •Поняття лотереї. Корисність за Нейманом. Сподівана корисність
- •Різне ставлення до ризику та функція корисності
- •Криві байдужості
- •Функція корисності з інтервальною нейтральністю до ризику
- •5.4. Основні засади управління економічним ризиком. Принципи управління ринком
- •Основні способи управління ризиком
- •Узагальнена процедура управління економічним ризиком
- •Прийняття рішень з урахуванням ризику
- •Використання експерименту як чинника зниження ризику
- •5.5 Елементи теорії портфеля Сутність диверсифікації на прикладі моделі Марковіца
- •Визначення характеристик портфеля цінних паперів
- •Портфель з багатьох видів цінних паперів
- •Включення в портфель безризикових цінних паперів
- •Ринкова модель (однофакторна модель Шарпа формування норми прибутку)
- •Оцінювання систематичного та несистематичного ризиків
- •5.6. Моделювання економічного ризику на базі концепції теорії гри Теоретико-ігрова модель та її основні компоненти
- •Функціонал оцінювання
- •Матриця ризику
- •Класифікація інформаційних ситуацій
- •Прийняття рішень у полі першої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі другої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі третьої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі четвертої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі п 'ятої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень у полі шостої інформаційної ситуації
- •Прийняття рішень, оптимальних за Парето
- •5.7.Ієрархічні моделі оцінювання економічного ризику та обґрунтування прийняття багатоцільових рішень Загальна ієрархічна модель та етапи її побудови
- •Теоретико-ігровий підхід до побудови багатоцільової моделі
- •Концептуальні проблеми розв 'язання багатоцільових і багатокритеріальних задач
- •Одноцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі однієї інформаційної ситуації
- •Обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •Багатоцільова багатокритеріальна модель обґрунтування прийняття рішень у полі кількох інформаційних ситуацій
- •5.8 Запаси та резерви як способи зниження ступеня ризику Структура та види резервів і запасів
- •Резервування грошових засобів на покриття випадкових витрат
- •Моделі оптимізації ступеня ризику та деякі стратегії формування запасів і резервів
- •5.9 Вартість, час та ризик Вартість і час
- •Модель рівноваги ринку капіталів (сарм)
- •Вплив ризику та інфляції на величину сподіваної норми відсотка (дисконту)
Поняття задачі квадратичного програмування
Задача квадратичного програмування – окремий випадок задачі нелінійного програмування, коли повна система обмежень така сама, як і в задачі лінійного програмування, а цільова функція є квадратичною формою. Отже, задача квадратичного програмування має вигляд
(2.136)
(2.137)
. (2.138)
Запишемо задачу в матричній формі. Введемо матриці:
С
= (с1,
с2,
..., сn);
;
;
XT
= (x1,
x2,
..., xn);
A = ||aij||; D = ||dij||.
При цьому припускається, що матриця D симетрична, тобто dij = dji.
Задача квадратичного програмування в матричній формі мав вигляд
Z = СХ + XТDX (min); (2.139)
AХ = B; (2.140)
Х ³ B. (2.141)
Як і в загальному випадку для задач нелінійного програмування, не існує ефективного обчислювального методу і для обчислення глобального екстремуму задачі квадратичного програмування, якщо лише наперед не відомо, що будь-який локальний екстремум є одночасно глобальним. Оскільки в задачі (2.139)-(2.141) множина планів опукла, то будь-який локальний мінімум (максимум) є глобальним, якщо цільова функція опукла.
Цільова функція є сумою лінійної функції СХ (яка є і опуклою, й угнутою) та функції XТDX, що є квадратичною формою.
Розглянемо деякі властивості квадратичних форм.
Означення
2.21
Вираз вигляду
називається квадратичною формою.
Очевидно, що квадратичну
форму
можна
записати
в матричному вигляді:
Q(Х) = XТDX.
Якщо Q(X) > 0 (Q(X) < 0) для всіх Х ¹ 0, то квадратична форма Q(X) називається додатно (від’ємно) визначеною.
Якщо Q(X) ³ 0 (Q(X) £ 0) для всіх Х ¹ 0, то квадратична форма Q(X) називається невід’ємно (недодатно) визначеною.
Якщо для одних Х Q(X) > 0, а для інших Q(X) < 0, то квадратична форма Q(X) називається невизначеною.
Припустимо,
що матриця D
симетрична. Дійсно, значення Q(X)
не зміняться, якщо кожний із пари
коефіцієнтів dij
і dji
(і¹
j)
замінити на
.
Приклад. Розглянемо квадратичну форму Q(X), породжену матрицею
і квадратичну форму Q*(X), породжену матрицею D*:
Отже,
Q(X)
º
Q*(X)
– це та
сама
квадратична форма. Однак D
¹
D*,
причому
матриця D*
симетрична і її отримано з D:
елементи
(і
¹
j)
дорівнюють півсумі відповідних елементів
матриці D.
Із вищої математики відомо, що квадратичну форму за допомогою лінійного перетворення можна перетворити до канонічного вигляду, тобто до вигляду, який містить лише квадрати змінних:
Q(X)
=
.
У результаті такого перетворення визначається вигляд форми:
1) якщо всі aі > 0, то квадратична форма додатно визначена;
2) якщо всі aі < 0 – від’ємно визначена;
3) якщо aі мають різні знаки – невизначена.
Справедлива наступна теорема про ознаки, що дає можливість, не зводячи квадратичну форму до канонічного вигляду, встановити вигляд визначеності або невизначеності квадратичної форми.
Теорема
2.24
Якщо для квадратичної форми Q(Х)
= XТDX
усі
визначники D1,
D2,
..., Dп
відмінні від нуля, то цю форму можна
перетворити до канонічного вигляду і
(і
=
),
де
.
Із цієї теореми випливає:
1) якщо всі визначники D1, D2, ..., Dп додатні, то всі aі > 0 і квадратичне форма додатно визначена;
2) якщо в ряду 1, D1, D2, ..., Dп знаки чергуються, то всі aі < 0 і квадратична форма від’ємно визначена;
3) якщо ранг матриці D(r) менше від п (r > n) і перші r її визначників додатні, то квадратичне форма невід’ємно визначена;
4) якщо r < n і в ряду 1, D1, D2, ..., Dr знаки чергуються, то квадратична форма недодатно визначена;
5) якщо r < n і в ряду 1, D1, D2, ..., Dr немає чергування знаків, то відповідно квадратична форма невизначена.
Приклад. Визначити вигляд квадратичної форми
Q(x1,
x2,
x3)
=
.
Розв’язання. Складемо матрицю D:
;
;
.
Оскільки дістали ряд 1, 1, 6, –13, маємо 5-й випадок, тобто квадратична форма невизначена.
Із вищої математики відомо, що коли квадратична форма додатно чи від’ємно визначена, то XТDX – опукла функція.
Розв’язок задачі квадратичного програмування шукатимемо в припущенні, що функція XТDX, а отже, й цільова функція є опуклими.
Скористаємося умовами Куна-Таккера (2.134)-(1.137), щоб отримати необхідні та достатні умови оптимальності плану задачі (2.139)-(2.141).
Складемо функцію Лагранжа:
або в матричній формі
, (2.142)
це L = (l1, l2, ..., lm).
Випишемо частинні похідні:
,
або в матричній фopмi
.
Аналогічно
.
Якщо
Х*
– оптимальний план задачі квадратичного
програмування, то має існувати така
матриця L*,
що (X*,
L*)
задовольняє умову (2.134), тобто умову
= 0.
У цьому разі умови (2.135) мають вигляд
А×Х* = В.
Оскільки обмеження в задачі подано у
вигляді рівнянь, то на lі
(і =
)
не накладаються умови невід’ємності,
умови (2.134) виконуються для будь-якого
плану, отже, їх можна виключити. Таким
чином, якщо існують Х* ³ 0,
L*,
які задовольняють умови
А×Х* = В;
; (2.143)
,
то X* є оптимальним планом задачі квадратичного програмування (2.139)-(2.141).