Визначник цієї матриці

У точці ( ) = (2,8; 0; 1,4; 1,4) маємо D = 5m² – 6m – 8. Розв’язавши рівняння 5m² – 6m – 8 = 0, дістанемо m₁ = –0,8 і m₂ = 2. Це означає, що в точці ( ) функція Лагранжа екстремуму не має.

Скільки в точках (2; 2; 1) і (2; –2; 1) значення цільової функції нашої задачі збігаються й дорівнюють 5, задача має два розв’язки:

= (2; 2; 1) і = (2; –2; 1).

Примітка. Неважко, встановити, що множники Лагранжа (і = ) для задачі (2.115)-(2.116) показують, наскільки збільшиться мінімальне значення цільової функції, якщо праву частину і-го обмеження збільшити на одиницю ( ), тобто чдють смисл двоїстих оцінок оптимального плану задачі лінійного програмування.

Узагальнений метод множників Лагранжа

У цьому підрозділі розглядається узагальнення методу множників Лагранжа на випадок задачі з обмеженнями у вигляді нерівностей. Нехай дано задачу

(2.119)

(2.120)

. (2.121)

Замінимо нерівності (2.120) рівняннями, ввівши в ліві частини кожної нерівності по одній додатковій невід’ємній змінній х_{n + 1} . Дістанемо задачу

.

Складемо функцію Лагранжа для цієї задачі:

. (2.110)

Обчисливши частинні похідні і та прирівнявши їх до нуля, дістанемо три групи умов:

; (2.123)

; (2.124)

. (2.125)

Проаналізуємо умови (2.120) і (2.124), щоб виявити необхідні умови, які визначають точку локального оптимуму. Із (2.120) випливає невід'ємність l_і . Дійсно, множники l_і виражають швидкість зміни f по відношенню до змін b_i; тобто l_i = ¶f/¶b_i. Коли права частина обмеження збільшується, множина планів розширюється. Отже, оптимальне значення цільової функції не може зменшитися. Це означає, що l_і ≥ 0 . Із (2.124) випливає, що якщо l_і > 0, то x_{n + 1} = 0. Це означає, що ресурс, який відповідає розглядуваному обмеженню, є дефіцитним і, отже, вичерпаний повністю (обмеження стає рівністю); якщо x_{n + 1} > 0, то l_і = 0. Це означає, що і-й ресурс недефіцитний, таким чином, зміна його кількості не впливає на значення f. (У цих міркуваннях застосовується економічна постановка задачі раціонального використання ресурсів, оскільки структурно модель (2.119)-(2.121) повторює модель (2.9)-(2.11).

Таким чином, необхідними умовами локального екстремуму функції є

l_і ³ 0 ;

; (2.126)

.

Ці умови називаються умовами Куна-Таккера. Для довільної нелінійної задачі вони не є достатніми. Однак вони будуть достатніми в тому разі, коли цільова функція та множина планів задовольняють певні умови, що розглядаються далі.

Примітка. ІІідхід, який грунтується на узагальненому методі Лагранжа, на практиці не застосовується. Однак у багатьох випадках умови Куна-Таккера є основою для створення ефективних алгоритмів розв’язування задач.

Приклад.

;

Перетворимо нашу задачу, ввівши додаткові змінні:

;

.

Складемо функцію Лагранжа:

Знайдемо частинні похідні:

; ; .

Складемо умови Куна-Таккера:

l₁, l₂, l₃, l₄, l₅ ³ 0;

2х₁ – 2l₁ – l₂ + l₃ = 0;

2х₂ – l₁ + l₄ = 0;

2х₃ – l₂ + l₅ = 0;

l₁(2х₁ + х₂ – 5) = 0;

l₂(х₁ + х₃ – 2) = 0;

l₃(1 – х₁) = 0;

l₄(2 – х₂) = 0;

l₅х₃ = 0;

2х₁ + х₂ £ 5;

х₂ + х₃ £ 2;

;

;

.

Розв’язавши систему, дістанемо х₁ = 1; х₂ = 2; х₃ = 0; l₁ = l₂ = l₅ = 0; l₃ = –2; l₄ = –4. Отже, (1; 2; 0) – точка локального оптимуму. Можна показати, що точка локального оптимуму є також точкою глобального оптимуму. Навіть із цього простого прикладу випливає, що розв’язування системи, породженої умовами Куна-Таккера, пов’язане із значними складностями.