Властивості розв’язків двоїстих пар задач

Теорема 2.15 (перша теорема двоїстості). Якщо одна з двоїстої пари задач має розв’язок, то інша також розв’язувана, причому екстремальні значення цільових функцій однакові. Якщо цільова функція одної із задач не обмежена на множині планів, то система обмежень іншої задачі суперечна.

Примітки 1. Якщо в ході побудови математичної моделі двоїстої задачі і-те обмеження вихідної задачі множили на l, то значення і-ї компоненти оптимального плану двоїстої задачі треба поділити на l. В процесі доведення цієї теореми доводиться: якщо вихідна задача розв’язується СМ, в цих же таблицях розв’язується і двоїста задача. При цьому оптимальний план двоїстої задачі виписується із останьої симплексної таблиці вихідної задачі - з індексного рядка на перетині зі стовпцями тих векторів, які були базисними в першій симплексній таблиці, якщо до того числа додати відповідний коефіцієнт цільової функції.

2. Твердження, обернене другій частині теореми взагалі кажучи, неправильне. Якщо система основних обмежень одної з пар двоїстих задач суперечна, це не означає, що друга задача обов’язково має непорожню множину планів і не обмежену на ньому цільову функцію. В обох задачах система основних обмежень може бути суперечною.

Теорема 2.16 Для того щоб плани X* = ( і Y* = ( вихідної та двоїстої задач були оптимальними, необхідно й достатньо, щоб виконувались умови

; (2.76)

. (2.77)

Двоїстий симплексний метод

На підставі теорії двоїстості розроблено метод розв’язування загальної задачі лінійного програмування, що називається двоїстим симплексним методом, або методом послідовного уточнення оцінок, двоїстий симплексний метод також полягає в переході від одного п-вимірного вектора до іншого, так що через скінченне число кроків або знаходять оптимальний розв’язок цієї задачі, або встановлюють її нерозв’язвність.

Ідея методу полягає в наступному: виходячи з наближених (попередніх) оцінок вихідної задачі (початкового плану двоїстої задачі), послідовно уточнюючи їх, можна дістати точні оцінки вихідної (оптимальний план двоїстої задачі). Із системою оцінок (планом двоїстої задачі) на кожній ітерації методу пов’язаний n-й вектор , що задовольняє систему основних обмежень вихідної задачі, однак може мати від’ємні компоненти. Оптимальній системі оцінок Y*, що визначається в останній ітерації, відповідає Х* із невід’ємними компонентами. Початкові наближені оцінки можна знаходити двома способами: 1) скласти двоїсту задачу, перетворити її до канонічного вигляду й по черзі розв’язувати різні системи п лінійно незалежних рівнянь доти, доки розв’язок чергової системи не задовольнятиме решту обмежень двоїстої задачі (за двоїстою задачею); 2) вибирати по черзі різні набори з векторів (j = ) i обчислювати всі вектори для кожного базису, поки не з’явиться базис з недодатними (невід’ємними) оцінками всіх його векторів (за вихідною задачею).

Обгрунтуємо двоїстий симплексний метод.

Нехай дано задачу лінійного програмування в стандартній формні канонічного вигляду

Z = C×X (max);

A×X £ B; (2.78)

X ³ 0.

Означення 2.12. Набір значень змінних, що задовольняє основну систему задачі (2.78), ненульовим значенням якого відповідають лінійно незалежні вектори, називається опорним квазіпланом.

Очевидна відмінність опорного квазіплану від опорного плану полягає в тому, що його компоненти можуть бути від’ємними.

Серед опорних квазіпланів задачі (2.78) цікавими є лише такі, для яких усі оцінки Z_j – C_j, знайдені за тими самими формулами, що й дія симплексного методу, недодатні, тобто

Z_j – C_j = (j = ), (2.79)

де – матриця-рядок, складена е коефіцієнтів цільової функції при базисних змінних; w_j - матриця-стовпець, складена з коефіцієнтів розкладання , за векторами базису.

Примітка. Розв’язуючи задачу двоїстим симплексним методом, дані кожної ітерації зручно оформляти у вигляді звичайних симплексних таблиць. Слід пам’ятати, що двоїстий симплексний алгоритм відрізняється від звичайного лише правилом вибору вектора, що. виводиться з базису, вектора, який уводиться в базис.

;

х_j ³ 0 .

Перетворюємо задачу до канонічного вигляду:

;

х_j ³ 0 .

= (0; 0; 0; 0; –8; –4; 0) - опорний квазіплан, йому відповідає базис А₅, А₆, А₇.

Складаємо першу симплексну таблицю.

Б	СБ		2	3	8	4	0	0	0
	0	–8	–3	–2	1	–5	1	0	0
	0	–4	0	3	3	–6	0	1	0
	0	0	–2	0	–1	1	0	0	1
Zj – Cj		0	–2	–3	–8	–4	0	0	0

Опорний квазіплан містить дві від’ємні компоненти (–8; –4). Найменша відповідає вектору , отже, його виводимо з базису. Обчислюємо абсолютні величини відношення оцінок до відповідних від’ємних елементів ключового рядка:

; ; .

Найменше відношення відповідав вектору . Отже, в базис вводиться вектор .

Складаємо другу симплексну таблицю (алгоритм перерахунку такий самий, як і в звичайному симплекс-методі).

Б	СБ		2	3	8	4	0	0	0
	2	8/3	1	2/3	–1/3	5/3	–1/3	0	0
	0	–4	0	3	3	–6	0	1	0
	0	16/3	0	4/3	–5/3	13/3	–2/3	0	1
Zj – Cj		16/3	0	–5/3	–26/3	–2/3	–2/3	0	0

Складаємо третю симплексну таблицю.

Б	СБ		2	3	8	4	0	0	0
	2	14/9	1	17/18	1/2	0	–1/3	5/18	0
	4	2/3	0	-1/2	–1/2	1	0	–1/6	0
	0	22/9	0	37/18	1/2	0	–2/3	13/18	1
Zj – Cj		52/9	0	–32/183	–9	0	–2/3	–1/9	0

План X = (l4/9; 0; 0; 2/3; 0; 0; 22/9) – оптимальний. Йому відповідає Z_min = 52/9.

Двоїстий симплексний метод потребує попереднього визначення квазіопорного плану вихідної задачі з недодатними оцінками. В розглянутому прикладі це було нескладно. Розроблені спеціальні методи визначення таких квазіопорних планів за трудомісткістю еквівалентні методу штучного базису. Тому доцільно використовувати двоїстий симплексний метод лише в тому разі, якщо для отримання квазіопорного плану вихідної задачі в канонічному вигляді з недодатними (невід’ємними) оцінками не треба додаткових обчислень, або в разі його обов’язкового застосування (наприклад, у ході розв'язування задач цілочислового лінійного програмування методом відсікання).