6.4. Пространственный поворот относительно точки
Рассмотрим последовательность аффинных преобразований на примере поворота вокруг точки А(a, b) на угол . Решим задачу в три этапа.
Шаг 1. совмещаем центр поворота (a, b) с началом координат:
.
Шаг 2. Произведем поворот на заданный угол
.
Шаг
3. Возвращаем матрицу на прежнее место
.
Контрольные вопросы и задания
Дайте понятие однородных координат?
Что такое аффинные преобразования?
В чем отличие матричных преобразований на плоскости от преобразований в пространстве?
Какая последовательность действий выполняется при повороте объекта относительно некоторой точки?
7. Проективные преобразования
Изображение объектов на картинной плоскости связано с такой геометрической операцией, как проецирование при помощи пучка прямых. Основными видами проецирования являются параллельное и центральное (перспективное) [16, 21].
Для получения проекции объекта на картинную плоскость необходимо провести через каждую его точку прямую из заданного проецирующего пучка и затем найти координаты точки пересечения этой прямой с плоскостью изображения. При параллельном проецировании центр пучка считается лежащим в бесконечности (рис. 7.1, а). В случае центрального проецирования все прямые исходят из одной точки – центра собственного пучка (рис. 7.1, б).
а б
Рис.7.1. Виды проецирования:
а) параллельное проецирование;
б) центральное проецирование
Каждый из этих двух классов разбивается на несколько подклассов в зависимости от расположения картинной плоскости и координатных осей (рис. 7.2, 7.3).
Рис.7.2. Параллельные проекции
Рис.7.3. Центральные проекции
Параллельные проекции. При ортографической проекции картинная плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей или параллельна ей. Матрица проецирования вдоль оси X на плоскость YZ имеет вид:
.
В
результате получаем
.
А
налогично
записываются матрицы проецирования
вдоль двух других осей:
.
При аксонометрической проекции проецирующие прямые перпендикулярны картинной плоскости. В соответствии со взаимным расположением координатных осей различают три вида проекций:
триметрию – нормальный вектор картинной плоскости образует с ортами координатных осей попарно различные углы (7.4, а).
диметрию – два угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны(7.4, б);
изометрию – все три угла между нормалью картинной плоскости и координатными осями равны (7.4, в).
а б в
Рис.7.4. Аксонометрические проекции:
а) триметрия, б) диметрия, в) изометрия
Каждый из трех видов указанных проекций получается комбинацией поворотов, за которой следует параллельное проецирование. При повороте на угол α относительно оси ординат, на угол φ вокруг оси абсцисс и последующего проецирования вдоль оси аппликат возникает матрица
.
Проекции,
для получения которых используется
пучок прямых, не перпендикулярных
плоскости экрана, принято называть
косоугольными (рис.7.5). При косоугольном
проецировании орта оси Z
на плоскость XY
имеем:
.
Рис.7.5. Косоугольное проецирование
Выделяют два вида косоугольных проекций: свободную проекцию (угол наклона проецирующих прямых к плоскости экрана равен половине прямого) и кабинетную проекцию (частный случай свободной проекции – масштаб по третьей оси вдвое меньше).
В
случае свободной проекции
,
в случае кабинетной
.
Центральные проекции. При центральном проецировании принято выделять точки схода, которые соответствуют пучкам прямых, параллельных координатным осям. В общем случае, (когда оси координатной системы не параллельны плоскости экрана), таких точек три.
Рис.7.6. Перспективная проекция с одной точкой схода
Матрица соответствующего преобразования выглядит следующим образом:
.