5.4. Параметрические полиномиальные кривые

Параметрическая форма представления определенной кривой или поверхности не является уникальной, но она чаще всего используется в компьютерной графике. Рассмотрим уравнения кривой в виде:

.

Полиномиальная параметрическая кривая степени п имеет вид

где с_к имеет независимые компоненты х, у, z.

Кривую можно определить на любом интервале изменения параметра u: . Обычно принимают, что

По мере того как параметр u будет изменяться, отображающая точка будет перемещаться по сегменту кривой (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Сегмент кривой

5.5. Общая характеристика полиномиальной параметрической формы представления

Преимущества параметрической формы представления криволинейных объектов [24]:

• возможность локального контроля формы объекта;

• гладкость и непрерывность в математическом смысле;

• возможность аналитического вычисления производных;

• устойчивость к малым возмущениям.

Процесс формирования кривой желательно организовать так, чтобы каждый сегмент строился индивидуально, а не строить все сегменты единой глобальной вычислительной процедурой. Желательно свести процедуру к выбору небольшого ансамбля опорных точек, которые будут полностью характеризовать форму сегмента кривой. Через опорные контрольные точки сегмент проходит, а некоторые располагаются вблизи действительной кривой. В задачах компьютерной графики предпочтение отдается классу полиномиальных кривых, которые называются сплайнами. Название сплайны произошло от английского наименования деревянной рейки, с помощью которой в кораблестроении вычерчивались гладкие контуры.

5.6. Параметрическая непрерывность

На рисунке 5.2 показаны два последовательных сегмента составной параметрической кривой. Обозначим полином левого сегмента р(u), а полином правого - q(u). Сформулируем разные условия непрерывности, сопоставляя значения полиномов и их производных в точке сопряжения для u=1 для р(u) и u=0 для q(u). Если желательно, чтобы составная кривая была непрерывной необходимо в точке сопряжения обеспечить выполнение условия:

Рис. 5.2. Непрерывность составной кривой в точке сопряжения

В точке сопряжения значения всех трех параметрических компонентов векторов р и q должны быть равны. Кривые, в которых такие удовлетворяются, назовем кривыми, обладающими параметрической непрерывностью класса .

Переходя к анализу производных в точке сопряжения, можно сформулировать условие непрерывности по первой производной:

Кривые, в которых условия непрерывности удовлетворяются и для значения, и для первой производной, назовем кривыми, обладающими параметрической непрерывностью класса С¹.

5.7. Геометрическая непрерывность

Производная к кривой, заданной параметрически, в некоторой точке есть вектор касательной к этой кривой, направленный в сторону увеличения значения параметра. В точке сопряжения вместо равенства значений компонент производной к сегментам потребуем только соблюдения пропорциональности этих компонент с некоторым коэффициентом k.

Если касательные к обоим сегментам пропорциональны, то соответствующие векторы параллельны, но имеют разную длину. Считается, что составная кривая, удовлетворяющая этим условиям, обладает геометрической непрерывностью класса G¹.

Форма кривой, обладающей геометрической непрерывностью класса G¹, зависит от коэффициента пропорциональности длин касательных к сегментам в точке сопряжения. Форма сегментов кривых, совпадающих в конечных точках и имеющих в этих точках пропорциональные векторы касательных, довольно существенно отличается (рис. 5.3). Это свойство используется в графических программах, в кото­рых пользователю предоставляется возможность регулировать значение коэффициента пропорциональности векторов касательных и таким способом настраивать желаемую форму вычерчиваемой кривой.

Рис. 5.3. Влияние длины векторов касательных на форму сегмента

полиномиальной кривой