Контрольные вопросы и задания

1. Какие примитивы, используемые в компьютерной графике, Вы знаете?

2. Дайте определение атрибуту.

3. Перечислите основные типы моделей трехмерных объектов.

4. Для чего предназначены 2.5D-модели?

5. Кривые и криволинейные поверхности

Обычно если в компьютерной графике возникает необходимость включить в состав сцены криволинейный объект, например сферу, то его зачастую стремятся с самого начала приближенно представить (аппроксимировать) множеством плоских многоугольников. Альтернативный способ состоит в том, чтобы предоставить пользователю средства работы с криволинейными объектами. Наиболее широкое распространение в компьютерной графике получили следующие виды подобных объектов: кривые и поверхности Безье, B-сплайны [1, 3, 11, 12, 15, 22, 24].

5.1. Представление кривых и поверхностей в явной форме

Явная форма представления кривой в двухмерном пространстве имеет вид уравнения, в левой части которого стоит зависимая переменная, а в правой части - функция, аргументом которой является независимая переменная. В пространстве переменных х, у уравнение линии в явной форме имеет вид:

Некоторые функции f имеют обратную g, которая позволяет изменить назначение зависимой и независимой переменных в уравнении, т.е. выразить x как функцию от у:

В трехмерном пространстве линия описывается системой из двух уравнений в явной форме, например, переменная х снова выбрана в качестве независимой, то имеем два уравнения зависимых переменных:

,

.

Для описания поверхности потребуется использовать две независимые переменные. Уравнение поверхности в явном виде будет выглядеть так:

5.2. Неявная форма представления кривых и поверхностей

Большинство кривых и поверхностей, с которыми приходится работать на практике, можно описать с помощью уравнений в неявной форме. В двухмерном пространстве неявная форма уравнения линии имеет вид

.

Прямая и окружность с центром в начале координат описываются соответственно уравнениями

Функция f выделяет из всех точек пространства те, которые принадлежат описываемой линии. Неявная форма представления является менее зависимой от системы координат, поскольку позволяет представлять прямые или окружности во всех вариантах.

В трехмерном пространстве уравнение в неявной форме вида представляет поверхность. Плоскость описывается уравнением

ax + by + cz + d = 0,

где а, b, с и d— константы.

Сфера радиуса r с центром в начале координат описывается уравнением

Описать линию в трехмерном пространстве не так просто. Она может быть представлена только системой уравнений, описывающих поверхности, пересечение которых и образует эту линию, если таковые существуют:

5.3. Параметрическая форма представления кривых и поверхностей

В параметрической форме значение каждой координаты точки, принадлежащей кривой является функцией независимой переменной u, которая называется параметром кривой. В трехмерном пространстве кривая описывается системой из трех параметрических уравнений:

Одно из главных достоинств параметрической формы представления - ее единообразие в двух- и трехмерном пространствах. В первом случае нужно просто отбросить третье уравнение для координаты z.

Для описания поверхности в параметрической форме требуется использовать два параметра. Система уравнений поверхности имеет вид:

Изменяя значения параметров u и v в некотором интервале, можно сформировать значения координат всех точек поверхности.

Параметрическая форма описания кривых и поверхностей является, во-первых, наиболее ­гибкой, а во-вторых, устойчивой к любым вариациям формы и ориентации объекта, что делает ее особенно удобной для использования в математическом обеспечении компьютерной графики.