Лабораторная работа 1

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ,

ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И СИГНАЛЫ

(СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОТЕХНИКА)

Лабораторная работа №1

«Экспериментальное определение одномерных плотностей вероятностей случайных процессов»

1. Содержание работы

1. Экспериментальное определение дифференциальных законов распределения случайных процессов.

2. Исследование эффекта нормализации случайного процесса.

3. Экспериментальное определение плотности вероятностей процесса, представляющего собой сумму гармонического сигнала с равномерно распределённой фазой и нормального случайного процесса.

2. Теоретические сведения

Случайным процессом называется процесс изменения физической величины во времени или пространстве по случайному закону. В радиотехнике под случайным процессом понимается электрическая величина (ток, напряжение), изменяющаяся во времени случайным образом. Конкретный вид случайного процесса в определённом опыте (осциллограммы тока, напряжения) называется реализацией случайного процесса.

Случайный процесс, описываемый случайной функцией Х(t), представляет совокупность (множество, ансамбль) реализаций, принимаемых функцией в отдельных опытах, причём каждую из реализаций , можно рассматривать как детерминированную (неслучайную) функцию времени. Поскольку неизвестно, какая именно реализация из ансамбля будет иметь место, функция Х(t) является случайной.

Зафиксируем некоторый момент времени . В фиксированный момент случайный процесс описывается случайной величиной , принимающей различные значения в разных опытах (т.е. различные значения в различных реализациях).

Для описания случайных величин наиболее употребительными являются такие вероятностные характеристики, как функции распределения и плотности вероятностей.

Функция распределения определяется как зависимость вероятности того факта, что случайная величина примет значение меньше некоторого , от величины .

Это значит, что любая реализация случайного процесса пересечёт сечение ниже уровня с вероятностью .

Свойства одномерной функции распределения:

1.

2.

3.

4.

Одномерная плотность вероятностей случайной величины определяется как предел отношения вероятности попадания её значения в интервал к длине этого интервала при

Свойства одномерной плотности вероятностей:

1. Всегда положительна:

2. Условие нормировки

3. Вероятность попадания в интервал [a, b] равна:

Функция распределения (так называемый интегральный закон распределения) связан с плотностью вероятностей (дифференциальным законом распределения) соотношениями:

Функция распределения , как всякая вероятность величина безразмерная. Размерность плотности вероятностей обратна размерности случайной величины.

Фиксируя не один момент времени , а несколько , можно ввести понятие многомерных функций распределения и плотностей вероятностей.

Важным классом случайных процессов являются стационарные случайные процессы, которые не меняют свои вероятностные характеристики во времени.

Стационарным случайным процессом в строгом (узком) смысле называется случайный процесс, многомерные плотности вероятностей которого не изменяются при сдвиге начала отсчёта времени, т.е.

Стационарным случайным процессом в широком смысле называется случайный процесс, одномерные и двумерные плотности вероятностей которого не изменяются при сдвиге начала отсчёта времени. Следовательно, одномерная плотность вероятностей не зависит от времени

Соответственно,

Двумерная плотность вероятностей зависит только от разности моментов отсчёта времени

Случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству возможных реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна временному среднему, полученному усреднением одной (любой) реализации случайного процесса за достаточно большой промежуток времени. При этом предполагается, что все реализации равнопредставительны (свойство «метрической транзитивности»).

Если наблюдать в течение достаточного времени Т некоторую реализацию случайного процесса , то одномерную плотность вероятностей можно определить отношением суммарного времени пребывания реализации в интервале к времени наблюдения Т, отнесённым к величине интервала при и

Примером эргодического случайного процесса может служить гармоническое колебание , у которого амплитуда и угловая частота - известные параметры, а начальная фаза - случайная величина, с одинаковой вероятностью принимающая любое значение в интервале от 0 до .

Законы распределения случайных процессов могут быть самыми разнообразными. Наибольшее распространение имеет нормальный (гауссов) закон распределения, играющий особую роль в теории вероятностей:

Плотность вероятностей суммы независимых случайных процессов может быть вычислена при помощи интеграла свёртки. Для суммы двух процессов и с одномерными плотностями вероятностей и имеем:

3. Описание лабораторной установки

Экспериментальное определение плотности распределения вероятностей случайных процессов основано на свойстве их эргодичности. Плотность вероятностей определяется по формуле:

Лабораторная установка включает в себя генератор шума Г2-12, осциллограф с внешним запуском развёртки, измеритель плотности вероятностей (ИПВ) и квадратичный милливольтметр.

ИПВ собран в виде отдельного блока. Напряжение питания () подаётся от внешних источников через разъём. На одном шасси с ИПВ смонтирована линейка из 10 идентичных генераторов гармонических колебаний с близкими частотами. Каждый генератор включается отдельным тумблером, амплитуды колебаний генераторов одинаковы и равны 0.1В, а фазы равномерно распределены в диапазоне от 0 до 2. На переднюю панель ИПВ выведена ручка потенциометра, с помощью которой изменяется напряжение , а его величина контролируется прибором с «0» посередине шкалы. В качестве источника случайных сигналов с нормальным распределением используется генератор шума Г2-12.

1. Плотности вероятностей суммарного случайного процесса при различном количестве генераторов.

а) Один генератор

б) Различное число генераторов (U=0,32)

2. Плотности вероятностей суммарного случайного процесса при разных значениях напряжения генератора

1