Ненагруженная добротность и эквивалентное сопротивление колебательной системы на основе отрезка длинной линии

Добротность любой электрической цепи, включая КС, определяется соотношением

(12.10)

где, соответственно, - максимальная реактивная мощность, а - максимальная мощность потерь в цепи.

В случае КС обе мощности, входящие в (12.10), максимальны на резонансной частоте системы.

Если учитывать только собственные потери в КС, то (12.10) определяет ненагруженную добротность КС – контура . Если учтены затраты мощности в полезной нагрузке, подключаемой к КС, то находится значение нагруженной добротности контура .

Реактивная мощность КС может быть определена через электрическую или магнитную энергию в системе. Электрическая энергия (энергия электрического поля) сосредотачивается в ёмкости и в погонных ёмкостях отрезка линии ; магнитная энергия (энергия магнитного поля) сосредоточена в погонных индуктивностях отрезка линии . На резонансной частоте электрическая и магнитная энергии КС равны и имеют максимальные значения. Соответственно, максимальная реактивная мощность КС может быть определена из выражения

(12.11)

где - амплитуда напряжения на отрезке линии в сечении , она же на ёмкости ; - соответственно амплитуды напряжения и тока в сечении х отрезка линии.

Для простейших КС, показанных на рис.12.2, для определения целесообразно воспользоваться правой частью (12.11) в силу краткости выражения.⁷

Длинные линии, используемые для изготовления контуров генераторов СВЧ, имеют высокую собственную добротность (в пределах нескольких сотен). Поэтому потери в таких линиях практически не сказываются на распределениях тока и напряжения вдоль проводов отрезка линии КС, и уравнения (12.1), (12.2) считаются для них справедливыми на протяжении всей длины , независимо от работы КС на основном тоне или обертоне.

Соответственно, согласно (12.1) и (12.2) в случае короткозамкнутого отрезка

(12.12)

а в случае разомкнутого отрезка согласно (12.2) и (12.1)

(12.13)

Реактивная мощность КС на основе короткозамкнутого отрезка линии с учётом распределения тока вдоль проводов линии (12.12) согласно правой части (12.11)

. (12.14)

Учитывая, что получаем

(12.15)

Реактивная мощность КС на основе разомкнутого отрезка линии определяется аналогично с учётом распределения тока вдоль проводов линии (12.13) и равна

. (12.16)

Так как то

(12.17)

Мощность потерь в КС с короткозамкнутым отрезком линии складывается:

- из мощности потерь на распределённом (погонном) сопротивлении потерь в проводах линии :

(12.18)

Обратим внимание на сходство (12.18) и (12.14).

- из мощности потерь в короткозамыкателе (на сопротивлении короткозамытеля при х = 0):

(12.19)

- из мощности потерь в месте присоединения ёмкости (на сопротивлении соединения при ):

(12.20)

В КС с разомкнутым отрезком линии мощность потерь складывается:

- из мощности потерь на распределённом сопротивлении :

(12.21)

Выражение (12.21) подобно (12.16).

- из мощности потерь на сопротивлении в месте присоединения ёмкости :

(12.22)

Обратим внимание, что у открытых линий существуют потери на излучение, которые сложно учитывать. Для уменьшения потерь на излучение двухпроводные, однопроводные и другие открытые линии экранируют.

При использовании несимметричных полосковых и микрополосковых линий дополнительно необходимо учитывать потери мощности в диэлектрике, которые можно определить, используя выражение

где - погонная проводимость потерь в линии, обусловленная диэлектриком (средой).

Однако, преобладающими являются потери в проводах линии (сопротивление ), в короткозамыкателе (сопротивление ), в месте соединения АЭ с отрезком линии (сопротивление ).

Поэтому, на основании (12.10) с учётом (12.15), (12.18) – (12.20) для КС с короткозамкнутым отрезком линии получаем:

(12.23)

Если учесть потери только в проводах линии , то

,

где - добротность линии.

Для КС с разомкнутым отрезком линии, используя (12.10), (12.17), (12.21), (12.22),

(12.24)

Если = 0, то .

После определения ненагруженной добротности согласно (12.23) или (12.24) может быть сделана поправка на потери на излучение и потери в диэлектрике.

На практике при первоначальных расчётах принимают значение ненагруженной добротности контура в пределах (150…200) для контуров из отрезков открытых двухпроводных и однопроводных линий, (400…800) для контуров из отрезков коаксиальных и симметричных полосковых линий с воздушным заполнением, (100…150) для контуров из отрезков несимметричных полосковых и микрополосковых линий.

Эквивалентное сопротивление контура на основе отрезка длинной линии может быть найдено из условия

, (12.25)

соответствующего закону сохранения энергии применительно к рассматриваемым КС, где - амплитуда напряжения в месте присоединения АЭ к контуру (в точках включения ёмкости ); - ненагруженное эквивалентное сопротивление контура на резонансной частоте. Если в учесть затраты мощности в полезной нагрузке, то на основании приведенного соотношения можно определить эквивалентное нагруженное сопротивление контура .

В случае короткозамкнутого отрезка линии согласно (12.12)

в случае разомкнутого отрезка линии согласно (12.13)

Ненагруженное эквивалентное сопротивление контура из короткозамкнутого отрезка линии согласно (12.25), учитывая (12.18) – (12.20), (12.23),

(12.26)

где - действующее характеристическое сопротивление контура с распределёнными параметрами; - ненагруженная добротность контура, определяемая (12.23).

Обратим внимание, что правая часть (12.26) соответствует хорошо известной формуле для эквивалентного сопротивления параллельного колебательного контура при полном включении.⁸

Ненагруженное эквивалентное сопротивление контура на основе разомкнутого отрезка линии из (12.25), учитывая (12.21), (12.22), (12.24),

(12.27)

где определяется (12.24).

При одинаковых значениях действующее характеристическое сопротивление контура на основе короткозамкнутого отрезка линии оказывается существенно выше, чем при использовании разомкнутого отрезка линии. Соответственно, при одинаковых значениях , например, при , эквивалентное сопротивление контура на основе короткозамкнутого отрезка линии будет существенно выше, чем у контура на основе разомкнутого отрезка линии.

Действующему характеристическому сопротивлению контура в соответствие могут быть поставлены действующая ёмкость и действующая индуктивность контура, удовлетворяющие соотношению:

,

где - резонансная частота контура, совпадающая с рабочей частотой генератора.

Интересно сравнить, как соотносится с . Согласно последнему соотношению

.

С учётом из (12.26) для контура на основе короткозамкнутого отрезка линии получаем

.

Учитывая, что согласно условию резонанса рассматриваемого контура (12.6)

,

находим

. (12.28)

Для контура на основе разомкнутого отрезка линии с учётом из (12.27) и условия резонанса (12.7) получаем

. (12.29)

Н а рис.12.10 для сравнения показаны зависимости , соответствующие (12.28) и (12.29) при работе КС на основном тоне.

При работе на высшем тоне (n = 1, 2, 3, …) существует оптимальное значение электрической длины короткозамкнутого и разомкнутого отрезка, при которой получается минимальное значение . Зависимости при подобны показанной на рис.12.10,б, только смещаются вверх.

Для получения минимального значения ёмкости и соответственно максимального значения следует выбирать волновое сопротивление в пределах

.

Чем больше n, тем меньше должно приниматься значение коэффициента в числителе при выборе , независимо от типа отрезка.

Согласно приведенному соотношению волновое сопротивление линии для изготовления контура следует принимать близким к сопротивлению сосредоточенной ёмкости на входе отрезка.

Зная действующую ёмкость контура, можно определить его действующую индуктивность, исходя из условия резонанса контура, согласно которому

.

Таким образом, КС с распределёнными параметрами на основе отрезка длинной линии в окрестности резонансной частоты может быть заменена контуром на сосредоточенных элементах с действующими параметрами и . Эквивалентные сопротивления и добротности контуров при этом одинаковы.

Так как отрезок линии играет роль индуктивного элемента контура, то, очевидно, можно ввести в рассмотрение понятие эквивалентной индуктивности, величина которой может быть найдена из выражения для входного сопротивления соответствующего отрезка на резонансной (рабочей) частоте. Так, для короткозамкнутого отрезка линии, исходя из (12.4), можно записать:

.

Соответственно, для разомкнутого отрезка, исходя из (12.5),

.

Можно установить соотношение между эквивалентной и действующей индуктивностью контура. Действующая индуктивность контура будет всегда меньше эквивалентной. Как следует из условий резонанса (12.6), (12.7), значение эквивалентной индуктивности используется для определения геометрической длины отрезка линии.⁹

Настройка контуров из отрезков длинных линий

Исходя из условий резонанса КС на основе отрезков длинных линий (12.6) и (12.7), можно наметить три принципиальных способа их настройки:

1. изменением ёмкости, подключенной к отрезку линии (ёмкостная настройка);

2. изменением геометрической длины отрезка линии ;

3. изменением волнового сопротивления линии .

Чтобы осуществить перестройку контура изменением волнового сопротивления линии , необходимо изменять поперечные размеры линии или диэлектрические и магнитные свойства среды между проводами. Изменять поперечные размеры линии, сохраняя её при этом однородной по длине и учитывая, что одним концом она присоединяется к АЭ, технически не представляется возможным. Оптимальным решением является применение отрезка коаксиальной линии, пространство между проводами которой заполнено ферритом. Если отрезок такой линии поместить в поле электромагнита (рис.12.11), напряжённость которого изменяется под воздействием управляющего сигнала, то волновое сопротивление линии будет изменяться за счёт изменения магнитной проницаемости феррита , где - магнитная проницаемость вакуума. Такой способ нашёл применение в генераторах ускорителей заряженных частиц. Это решение можно считать наиболее удачным.

Отрезки коаксиальных линий с частичным заполнением ферритом применяются в ламповых генераторах дециметровых волн. При использовании перестройки контура за счёт изменения магнитной проницаемости феррита возникают трудности конструирования системы подмагничивания, связанные с уменьшением немагнитных зазоров с целью повышения эффективности управления и снижения мощности управляющего устройства. При изменении магнитной проницаемости феррита изменяются также потери в нём, что сказывается на уровне колебательной мощности генератора. Диапазон перестройки контура рассмотренным способом небольшой – единицы процентов.

Настройка контура изменением волнового сопротивления линии не может считаться пригодной для широкого применения из-за сложности и ограниченности способов её технической реализации.

Настройка контура изменением геометрической длины отрезка линии возможна только при использовании короткозамкнутых отрезков. В случае разомкнутого отрезка технически не представляется возможным изменять его длину, учитывая, что на противоположном конце находится АЭ.

Геометрическую длину отрезка линии изменяют перемещением короткозамыкателя. В коаксиальных линиях короткозамыкатели выполняют в виде контактных поршней. В случае двухпроводных линий применяют контактные мостики. Применение подвижного короткозамыкающего устройства для изменения геометрической длины отрезка линии возможно только в случае воздушного заполнения пространства между проводами линии. Перестройка КС с помощью короткозамыкателя оказывается наиболее эффективной при работе контура на основном тоне. При работе на высшем тоне эффективность перестройки КС, то есть изменение частоты настройки с изменением длины, заметно снижается. Эквивалентное сопротивление контура уменьшается с уменьшением длины , то есть с повышением частоты настройки.

Основной трудностью при использовании короткозамыкателей со скользящимими контактами является получение достаточно малого переходного сопротивления в месте контакта. Величина этого сопротивления зависит от давления между контактирующими поверхностями, от степени их загрязнения и чистоты обработки.

Большим недостатком, снижающим эксплуатационную надёжность устройства, является непостоянство переходного сопротивления скользящих контактов. В процессе эксплуатации сопротивление контактов изменяется в больших пределах по случайному закону, что изменяет электрические характеристики контура и генератора.

При ёмкостной настройке резонансная частота контура на основе отрезка длинной линии изменяется с помощью конденсатора переменной ёмкости, включенного вблизи соединения АЭ с контуром. В случае разомкнутого отрезка линии конденсатор переменной ёмкости может быть также включён со стороны разомкнутого конца, который, естественно, нельзя при этом рассматривать как разомкнутый.

Основные достоинства ёмкостной настройки контура из отрезка линии – относительная простота конструктивного выполнения и лёгкость осуществления сопряжённой настройки нескольких контуров, например, в случае многокаскадного устройства. Изменяя форму пластин конденсатора настройки, можно получить любой вид настроечной кривой. При ёмкостной настройке контура обеспечивается выше точность установки частоты, чем при настройке изменением длины отрезка .

Однако ёмкостная настройка имеет ряд недостатков, которые ограничивают в некоторых случаях её применение. Существенным недостатком ёмкостной настройки является снижение эквивалентного сопротивления контура за счёт увеличения его начальной ёмкости и понижения вследствие этого действующего характеристического сопротивления контура. Другим недостатком ёмкостной настройки, особенно существенным для мощных генераторов, является снижение электрической прочности контура при введении в него конденсатора настройки с малыми расстояниями между пластинами. Увеличение расстояния, которое необходимо для уменьшения опасности электрического пробоя, приводит к неизбежному увеличению площади пластин для сохранения прежней величины ёмкости. При этом размеры конденсатора настройки могут оказаться чрезмерно большими, и его невозможно будет разместить в пространстве между проводами линии.

Необходимо также иметь в виду, что конденсатор настройки нарушает однородность электрического и магнитного полей в линии, а это может стать причиной возникновения колебаний высших типов волн, увеличения потерь мощности и снижения электрической прочности контура.

Несмотря на указанные недостатки, ёмкостная настройка является одним из наиболее распространённых способов настройки контуров из отрезков длинных линий.

При ёмкостной настройке контура его эквивалентное сопротивление возрастает с повышением частоты настройки.

Н а рис.12.12 показаны схемы ёмкостной настройки контура на основе короткозамкнутого отрезка линии (рис.12.12,а) и на основе разомкнутого отрезка линии при подключении конденсатора настройки с противоположного конца (рис.12.12,б).

Для эффективного управления конденсатор настройки должен размещаться в сечении отрезка линии с максимальным напряжением. В случае короткозамкнутого отрезка при работе контура на основном тоне максимальное напряжение имеет место в точках подключения АЭ, то есть в месте ёмкости . Однако конструктивно конденсатор не может быть размещён в месте подключения АЭ. Поэтому он располагается на некотором расстоянии от места включения АЭ, соответствующего месту включения сосредоточенной ёмкости (рис.12.12,а). Расстояние выбирается из соображений удобства и возможности реализации конструкции контура. При работе контура на высшем тоне максимальное напряжение находится в пучности стоячей волны напряжения в отрезке линии (см. рис.12.4,а). При использовании разомкнутого отрезка линии максимальное напряжение имеет место на разомкнутом конце, то есть на противоположном конце контура. Обычно с этого конца и включается конденсатор настройки (рис.12.12,б).

Чем больше напряжение на ёмкости конденсатора настройки , тем больше в нём сосредотачивается реактивной энергии электрического поля, соответственно влияние такой ёмкости на контур будет велико, и будут требоваться меньшие пределы изменения ёмкости конденсатора настройки для изменения частоты в нужных пределах. Очевидно, если конденсатор настройки разместить вблизи короткозамыкателя, то в каких бы пределах ни изменялась ёмкость конденсатора, эффект от неё будет ничтожен. И, напротив, влияние ёмкости резко возрастает при подключении её параллельно .

В заключение отметим, что условия резонанса контуров по семам рис.12.12 будут отличаться от (12.6) и (12.7). Конкретно для каждого из представленных контуров условие резонанса можно получить из (*) с использованием выражения (12.3). Так, для контура на основе разомкнутого отрезка линии (рис.12.12,б) в (12.3) следует подставить . Полученный результат подставить в условие резонанса (*), из которого можно получить выражение для определения геометрической длины отрезка . Если длину отрезка считать заданной, то можно получить выражение для определения . Для контура на основе короткозамкнутого отрезка линии по схеме (рис.12.12,а) следует определить как параллельное соединение сопротивлений ёмкости и короткозамкнутого отрезка линии длиной . Найденное сопротивление следует подставить в (12.3), в котором теперь вместо следует учитывать . Далее, из (*) может быть получено выражение для определения необходимой длины отрезка или ёмкости , если длина отрезка известна. Очевидно, при полученное выражение будет приближаться к (12.6), где вместо надо учитывать суммарную ёмкость .