Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный исследовательский томский политехнический университет

Институт/ Факультет – ЭНИН

Направление – Энергетическое машиностроение

Кафедра – ПГС и ПГУ

Построение функциональной зависимости по эмпирическим

данным с использованием метода наименьших квадратов

Отчет по лабораторной работе №1

по дисциплине « Моделирование физических процессов»

Выполнил студент гр.5В02 ______ _________ И.Е.Корзилова

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Проверил доцент кафедры ПГС ________ _______ А. Н. Субботин

^{Подпись Дата И.О.Фамилия}

Томск – 2013

1.Общие сведения

1.1 Аппроксимация функций

Как правило, возникает необходимость после проведения лабораторных исследований представить экспериментальные результаты в виде аналитической зависимости, которая называется аппроксимирующей функцией.

Допустим, мы имеем набор значений y_i, x_i . Такую зависимость можно построить, используя полиномы Ньютона или Эрмита, которые основаны на принципе прохождении кривой через все экспериментальные точки, но при такой зависимости в точках, не совпадающих с экспериментальными погрешности могут быть большими. Поэтому используется метод наименьших квадратов (МНК).

Суть метода наименьших квадратов.

1. Аппроксимируемую функцию обозначают f(x), а экспериментальные значения y_i, x_i .

2. Вычисляем отклонения функции f(x) от y_i , полученных в точках x_i

3. В силу того что может быть как положительной так и отрицательной, то мы берём квадратичное отклонение .

4. Находим суммарное квадратичное отклонение

(1).

5. Потребуем, чтобы Q было минимальным

, k– число констант в описываемой функции.

2. Пример применения мнк

Рассмотрим теперь вопрос о том, как при использовании критерия наименьших квадратов получается система уравнений для определения функциональной зависимости f(X).

2.1. Квадратичная зависимость f(X)

Напишем . Наша задача состоит в том, чтобы определить значения с_1­­,с₂­,с₃ ,при которых сумма Q(см. формулу 1) станет минимальной.

Применяя метод наименьших квадратов (см. общие положение) получим:

Следует отметить, что этот метод можно использовать при выводе уравнений для многочленов любой степени, к которым желательно приблизить экспериментальную зависимость.

2.2 Программа на языке paskal применения мнк для квадратичной функции

program Irina;

var

X: array[1..100] of Real;

Y: array[1..100] of Real;

i,N: integer;

a11,a12,a13,a23,a33,b1,b2,b3,d,c1,c2,c3,x1,x2: Real;

DataFile: Text;

begin

writeln ('Введите число эксперементальных точек N');

readln(N);

writeln('ввидите координаты эксперементальных точек');

for i:= 1 to N do

begin

readln (X[i], Y[i]);

end;

a11:=N;a12:=0;a13:=0;a23:=0;a33:=0;

b1:=0;b2:=0;b3:=0;

for i:= 1 to N do

begin

a12:=a12+X[i];a13:=a13+Sqr(X[i]);

a23:=a23+Sqr(X[i])*X[i];a33:=a33+Sqr(Sqr(X[i]));

b1:=b1+Y[i];b2:=b2+X[i]*Y[i];

b3:=b3+Sqr(X[i])*Y[i];

end;

d:=(a23*a11-a12*a13)/(a13*a11-a12*a12);

c3:=((b1*a12-b2*a11)*d-b1*a13+b3*a11)/((a13*a12-a23*a11)*d-a13*a13+a33*a11);

c2:=(b2*a11-b1*a12+c3*(a12*a13-a23*a11))/(a13*a11-a12*a12);

c1:=(b1-a12*c2-a13*c3)/a11;

writeln('c1=', c1:10:5,',c2=',c2:10:5,',c3=',c3:10:5);

Assign(DataFile,'MnkRes.dat');

Rewrite(DataFile);

for i:= 1 to N do

writeln(DataFile,X[i]:10:5,Y[i]:10:5,c1+c2*X[1]+c3*Sqr(X[i]):10:5);

Close(DataFile);

writeln('ввидите значение х1');

Readln(x1);

writeln ('при х=х1 у1=',c1+c2*X[1] +c3*Sqr(X1):10:5);

writeln('ввидите значение х2');

Readln(x2);

writeln ('при х=х2 у2=',c1+c2*X[2] +c3*Sqr(X2):10:5);

end.