2.1. Логические операции

Истинностные значения новых высказываний определяются при этом только истинностными значениями входящих в них высказываний. Построение из данных высказываний (или из данного высказывания) нового высказывания называется логической операцией. Знаки логических операций называются логическими связками. Логические связки могут быть: одноместными (унарными), двухместными (бинарные), трехместными (тернарными) и т.д.

Пример 10.

• Из высказываний «х > 2», «х < 3» при помощи связки «и» можно получить высказывание «x > 2 и х < 3»;

• из высказываний «у > 10», «х < 3» при помощи связки «или» можно получить высказывание «у > 10 или х < 3»;

• из высказываний «х > 2», «у < 3» при помощи связки «если..., то...» можно получить высказывание «если x > 2, то у < 3».

Истинность или ложность получаемых таким образом высказываний зависит от истинности и ложности исходных высказываний и соответствующей трактовки связок как операций над высказываниями.

В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности. В таблице 1 представлена таблица истинности для операции «отрицание» («инверсия»).

Таблица истинности для операции «отрицания»

Таблица 1

А	не А
0	1
1	0

В таблице 2 приведены основные бинарные логические операции и связки.

Основные бинарные логические операции и связки

Таблица 2

Обозначение логической операции	Другие обозначения логической операции	Название логической операции и связки	Примечание (читается)
А1  А2	А1 & А2 А1  А2 А1А2	конъюнкция, логическое умножение, логическое «и»	А1 и А2
А1  А2	А1 + А2	дизъюнкция, логическое сложение, логическое «или»	А1 или А2
А1  А2	А1  А2 А1  А2	импликация, логическое следование	если А1, то А2; А1 имплицирует А2; А1 влечет А2
А1  А2	А1 + А2 А1  А2 А1  А2	сумма по модулю 2, разделительная дизъюнкция, разделительное «или»	А1 плюс А2; либо А1, либо А2
А1 ~ А2	А1  А2 А1  А2 А1  А2	эквиваленция, эквивалентность, равнозначность, тождественность	А1 тогда и только тогда, когда А2; А1 эквивалентно А2
А1  А2		штрих Шеффера, антиконъюнкция	неверно, что А1 и А2; А1 штрих Шеффера А2
А1  А2	А1 А2 А1 А2	стрелка Пирса, антидизъюнкция, функция Вебба, функция Даггера	ни А1, ни А2; А1 стрелка Пирса А2

Примечание: А1 и А2 являются высказываниями.

Связки и частица «не» рассматриваются в алгебре логики как операции над величинами, принимающими значения 0 (ложь/false) и 1 (истина/true), и результатом применения этих операций также являются числа 0 или 1. В таблице 3 представлены все наборы значений переменных А1 и А2 и значения функций на этих наборах.

Таблица истинности для основных бинарных логических операций

Таблица 3

А1	А2	Ù	Ú	®	Å	~	½	¯
0	0	0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	0	1	0
1	0	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	1	1	0	1	0	0

Инверсия

Отрицание высказывания А (т.е. не А) обозначается , или , или и часто читается: «отрицание А», «не А» или «А с чертой».

Пример 11. Высказывание А=<Киев-столица Франции>, тогда сложное высказывание НЕ А означает: не верно, что А, т.е. не верно, что <Киев-столица Франции>.

Конъюнкция

Результатом операции конъюнкции для высказывания А  В будет истинна только тогда, когда истинны одновременно оба высказывания.

Пример 12. Высказывания А= «Москва – столица России» и В= «Рим – столица Италии». Сложное высказывание А  В (А & В) истинно, так как истинны оба высказывания.

Дизъюнкция

Результатом операции дизъюнкции для высказывания А  В будет истинна тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание, входящее в него.

Пример 13. Высказывания А = «2 + 3 = 5» и В = «3 + 3 = 5». Сложное высказывание: А  В (А + В) истинно, так как истинно высказывание А.

Эквиваленция (равнозначность)

Результатом операции эквиваленции для высказывания А ~ В будет истинна тогда, когда истинны или ложны одновременно оба высказывания. Отличие эквиваленции от конъюнкции состоит в том, что вне зависимости от смысла, равнозначными являются как истинные, так и ложные высказывания.

Пример 14. Высказывания А = «2 + 2 = 7» и В = «1 – 8 = 5». Сложное высказывание А  В (А ~ В) истинно, так как оба высказывания ложны.