Задачи.

Задачи из раздела графический метод решить симплекс-методом.

Задача № 2

Особые случаи симплексного метода Не единственность оптимального решения (альтернативный оптимум).

Рассмотрим задачу:

При решении задачи геометрически, мы убедились, что оптимум достигается на отрезке, принадлежащем прямой . Рассмотрим этот вариант при симплекс-методе. На очередном шаге получим:

Базис	Свобод-ный член	Переменные					Оценоч-ные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5
x2	5	0	1	2/3	1/3	0	15
x1	3	1	0	1/3	-1/3	0	
x5	9	0	0	1	1	1	9
F	24	0	0	1	0	0

Здесь допустимое решение и соответствует точке (3;5) на графике. Критерий оптимальности выполнен, следовательно оптимальное решение и максимальное значение функции . Однако в оценочной строке коэффициент перед небазисной переменной равен нулю, поэтому изменение этой переменной не повлечет изменение целевой функции, следовательно, ее можно внести в основные переменные.

Базис	Свобод-ный член	Переменные
		x1	x2	x3	x4	x5
x2	2	0	1	1/3	0	-1/3
x1	6	1	0	2/3	0	1/3
x4	9	0	0	1	1	1
F	24	0	0	1	0

Получим - оптимальное решение и . Данному решению соответствует точка (6;2) на графике.

Учитывая, что переменная в базисном решении остается не основной, а удовлетворяет неравенству , можно получить все множество оптимальных решений.

Пусть

Замечание. Множество решений, в соответствии с Т3 и Т4 можно представить как выпуклую линейную комбинацию базисных решений

Появление вырожденного базисного решения

Рассмотрим задачу:

Решим задачу симплексным методом. Введем дополнительные переменные и составим симплекс-таблицу.

Базис	Свобод-ный член	Переменные					Оценоч-ные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5
x3	2	1	-1	1	0	0	2
x4	6	3	-2	0	1	0	2
x5	14	6	-4	0	0	1	7/3
F	0	-2	1	0	0	0

Так как полученное решение не оптимально, переходим к новой симплекс-таблице. Причем, в качестве разрешающей строки можно взять как первую, так и вторую.

Базис	Свобод-ный член	Переменные					Оценоч-ные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5
x1	2	1	-1	1	0	0	
x4	0	0	1	-3	1	0	0
x5	2	0	2	-6	0	1	1
F	4	0	-1	2	0	0

Полученное решение вырожденно, так как основная переменная и вновь не является оптимальным. Переходим к новой симплекс-таблице.

Базис	Свобод-ный член	Переменные					Оценоч-ные отношения
		x1	x2	x3	x4	x5
x1	2	1	0	-2	0	0
x2	0	0	1	-3	1	0
x5	2	0	0	0	-2	1
F	4	0	0	-1	1	0

Решение так же вырожденно, так как основная компонента .

При этом целевая функция не увеличилась, но и не ухудшилась. Выполненный шаг, хотя и не улучшил значение целевой функции, лишнем не является, так как привел к новому базисному решению. На практике, наличие пустых шагов может привести к зацикливанию задачи.

Вывод: если на каком-либо шаге симплекс-метода наибольшее возможное значение переменной достигается в нескольких уравнениях одновременно, то в качестве разрешающего можно выбрать одно из них (в симплекс-таблице совпадение оптимальных оценочных отношений). Тогда на следующем шаге получим вырожденное базисное решение, переход к очередному базисному решению может не изменить значение целевой функции.

Замечание: Вырождение, полученное при оптимальном решении может привести к альтернативному оптимуму даже при нулевых коэффициентах при всех не основных переменных в целевой функции.