Задания:

В данных задачах составить экономико-математическую модель.

1. Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.

Таблица 3

Вид сырья	Общее количество сырья, кг	Нормы расхода сырья на одно изделие, кг
		А	В
S1	300	12	4
S2	120	4	4
S3	252	3	12
Прибыль от реализации изделия, ден. ед.		30	40

Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпускать не менее, чем изделий А.

2. Рацион питания для животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 руб. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов и 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 руб. и содержит: 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов и 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., а нитратов не более 16 ед.

.Общая задача линейного программирования.

Пусть дана система m уравнений и неравенств с n переменными (неизвестными):

(1)

и линейная функция:

(2)

Найти решение системы X^*(x₁,x₂, …, x_n), где все x_j0 (для всех j от 0 до n), при котором функция z принимает оптимальное значение (максимальное или минимальное).

Такая задача называется задачей линейного программирования (ЗЛП) в общем виде. (1) называется системой ограничений; (2) – целевой функцией (функцией цели).

ЗЛП можно записать в сокращенном виде:

(1^/, 2^/)

Оптимальным решением (планом) ЗЛП называется решение X^*(x₁,x₂,…,x_n) системы ограничений, при котором целевая функция принимает оптимальное значение.

Если система ограничений (1) состоит из одних неравенств (не нарушая общности, будем говорить, что ограничения вида "", так как, если знак неравенства "", то мы можем умножив его на –1 перейти к неравенству вида ""), то такую задачу называют задачей линейного программирования в стандартном виде (в стандартной форме).

Если все ограничения системы (1) – уравнения (вида "="), то такую задачу называют задачей линейного программирования в каноническом виде (в канонической форме).

Любая ЗЛП может быть приведена к каноническому виду.

Терема: Любому решению X^*(x₁,x₂,…,x_n) неравенства соответствует определенное решение X^*(x₁,x₂,…,x_n,x_n+1) уравнения в котором x_n+10.

И обратно.

Приведем ограничение (1) к каноническом виду:

Графический метод решения злп.

Рассмотрим ЗЛП в стандартной форме:

(1)

Рассмотрим эту задачу (число на плоскости переменных n=2):

(2)

Пусть система неравенств (2) совместна (имеет хотя бы одно решение).

Любое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой (i=1,2,…,m). Условия не отрицательности определяют полуплоскости с соответственными граничными прямыми x₁=0 и x₂=0.

Так как система совместна, то полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы. Совокупность всех этих точек называется многоугольником решений. Это может быть точка, отрезок, луч, прямая, замкнутый многоугольник, неограниченная многоугольная область.

Решение ЗЛП геометрически представляет собой поиск такой точки многоугольника решений, координаты которой доставляют целевой функции наибольшее (наименьшее) значение. Причем допустимым решением являются все точки многогранника.

Рассмотрим так называемую линию уровня целевой функции z, то есть линию, вдоль которой эта функция принимает одно и то же фиксированное значение х₀:

z= х₀ или