Линейное программирование. Введение.

Задачами линейного программирования (ЛП) называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств и для которых методы математического анализа оказываются непригодными. ЛП представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. В сфере лесного комплекса к их числу относятся задачи:

1. рациональное использование сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

2. оптимизации производственной программы предприятий;

3. оптимального размещения и концентрации производства;

4. на составление оптимального плана перевозок, работы транспорта;

5. управления производственными запасами;

6. и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так по оценкам американских экспертов около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на ЛП. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач ЛП и их многочисленных модификаций.

Примеры задач линейного программирования.

1.Задача об использовании ресурсов.

Для изготовления двух видов продукции Р₁ и Р₂ используется четыре вида ресурсов S₁, S₂, S₃, S₄. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице 1.

Таблица 1

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
		Р1	Р2
S1	18	1	3
S2	16	2	1
S3	5	-	1
S4	21	3	-

Прибыль, получаемая от единиц продукции Р₁ и Р₂, - соответственно 2 и 3 руб.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть х₁ и х₂ – число единиц продукции Р₁ и Р₂, соответственно, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется (1х₁+3х₂) единиц ресурса S₁, (2х₁+1х₂) единиц ресурса S₂, (1х₂) единиц ресурса S₃ и (3х₂) единиц ресурса S₄. Так как потребление ресурсов S₁, S₂, S₃, S₄ не должно превышать запасов, соответственно 18, 16, 5 и 21 единицы, то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

(1)

По смыслу задачи переменные :

(2)

Суммарная прибыль z составит 2х₁ руб. от реализации продукции Р₁ и 3х₂ руб. от реализации продукции Р₂, т.е.:

(3)

Итак, получили экономико-математическую модель задачи: найти такой план выпуска продукции Х=(х₁,х₂), удовлетворяющий системе (1) и условию (2), при котором функция (3) принимает максимальное значение.

Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).

Имеются два вида корма I и II, содержащие питательные вещества (витамины) S₁, S₂, S₃. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице 2.

Таблица 2

Питательное вещество(витамин)	Необходимый минимум питательных веществ	Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
		I	II
S1	9	3	1
S2	8	1	2
S3	12	1	6

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 руб.

Необходимо составить такой дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не меньше установленного предела.

Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.

Пусть х₁ и х₂ – количество кормов I и II, соответственно, входящих в дневной рацион. Этот рацион будет включать (3х₁+1х₂) единиц питательного вещества S₁, (1х₁+2х₂) единиц питательного вещества S₂, (1х₂+6х₂) единиц питательного вещества S₃. Так как содержание питательных веществ S₁, S₂, S₃, в рационе должно быть не менее, соответственно 9, 8, 12 единицы, получим систему неравенств:

(4)

По смыслу задачи переменные :

(5)

Общая стоимость рациона z составит в руб:

(6)

Итак, получили экономико-математическую модель задачи: составить дневной рацион Х=(х₁,х₂), удовлетворяющий системе (4) и условию (5), при котором функция (6) принимает минимальное значение.