Формула Симпсона.

Разбиваем на 2п частей.

Погрешность формул численного интегрирования

Для формулы прямоугольников:

Для формулы трапеций:

Для формулы Симпсона:

Поскольку нахождение производных не всегда просто, то на практике используется метод двойного пересчёта, т.е. при вычисление интеграла с шагом I получается значение

Если

- для формулы прямоугольников;

- для формулы трапеций;

- погрешность, за значение интеграла берётся

где

- для формулы Симпсона,

Если эти равенства не выполняются, то берём шаг

и вычисляем

Пример: Вычислим интеграл, используя формулу прямоугольников. Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок делится точками на травных отрезков длиной Обозначим через значение функции в точках Формулы выражают площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников:

Данная подынтегральная функция . Отрезок разобьем на 5 отрезков с

Шагом равным . Зададим функцию таблицей:

x	0	0,8	1,6	2,4	3,2	4
y	0,5	0,38	0,22	0,13	0,08	0,05

0,8(0,05+0,08+0,13+0,22+0,38)=0,69

0,8(0,08+0,13+0,22+0,38+0,5)= 1.048

Среднее значение интеграла равно

Вычислим тот же интеграл, используя формулу трапеций.

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

.

Используем ту же таблицу.

0,5 0,8(0,5+2(0,38+0,22+0,13+0,08)+0,05)= 0,87

Вычислим тот же интеграл, используя формулу Симпсона.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке [a,b]:

Разобьем отрезок на 6 частей. Тогда h = . Составим таблицу:

x	0		1	2	2	3	4
y	0,5	0,4091	0,3857	0,1667	0,1098	0,0762	0,05

= (0,5+4(0,4091+0,1667+0,0762)+2 +0,05)= 0,922

Для сравнения найдем точное значение интеграла:

2).Контрольные вопросы:

1. Формулы правых и левых прямоугольников.

2. Формула трапеций.

3. Формула Симпсона.

4. Метод двойного пересчета для нахождения погрешности по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.

3) Задания. (n – номер варианта)

1.Вычислить интеграл

,

используя формулы левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона с числом шагов 4 и 8. Оценить погрешность вычислений методом двойного пересчета. Для сравнения найти точное значение интеграла.

2. 1.Вычислить интеграл

,

используя формулы левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона с числом шагов 4 и 8. Оценить погрешность вычислений методом двойного пересчета.