3.Решение задачи Коши для дифференциальных уравнений 1-ого порядка методом Эйлера.
Основные теоретические положения
Согласно методу Эйлера для решения дифференциального уравнения
1-го порядка
y′= f (x,y) (20)
с начальным условием
0 0 y(x ) = y (21)
(так называемая задача Коши) отрезок [a, b], на котором ищется решение
задачи, разбивают на n частей с шагом h = (b – a) / n и находят
значения
yk = y(xk) в точках xk = x0 + k⋅h (k = 0,1,..n). Очевидно, что при этом x0 = a,
xn
=
b.
Значения yk+1
определяется
по формуле
,
которая получается заменой производной на ее разностный аналог.
Пример. Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка
где функция f определена на некоторой
области
. Решение разыскивается на интервале
[x0,b). На этом интервале введем узлы
Приближенное решение в узлах xi, которое обозначим через yi определяется по формуле
В данном случае:
;
начальное условие
.
Нам потребуется выполнить
шагов. На каждом шаге вычисляем значения
и
.
Для удобства, все вычисления удобно записывать в таблицу:
k |
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0,25 |
0,2751 |
0,0275 |
0.2775 |
1 |
0,3 |
0.2775 |
0.3646 |
0.0365 |
0.3140 |
2 |
0,4 |
0.3140 |
0.4307 |
0.0431 |
0.3571 |
3 |
0,5 |
0.3571 |
0.5023 |
0.0502 |
0.4073 |
4 |
0,6 |
0.4073 |
0.5791 |
0.0579 |
0.4652 |
5 |
0,7 |
0.4652 |
0.6614 |
0.0661 |
0.5313 |
6 |
0,8 |
0.5313 |
0.6814 |
0.0681 |
0.5994 |
7 |
0,9 |
0.5994 |
0,7599 |
0.0760 |
0.6754 |
8 |
1,0 |
0.6754 |
0.8429 |
0.0843 |
0.7597 |
9 |
1,1 |
0.7597 |
0,9309 |
0.0931 |
0.8528 |
10 |
1,2 |
0.8528 |
2,2734 |
0.2273 |
1.0801 |
Задача решена.
Задания для самостоятельной работы:
1,4, 7, 10, 13 варианты: |
2,5, 8, 11, 14варианты: |
3, 6, 9, 12, 15варианты: |
1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция: |
||
|
|
|
2. Решите уравнение с разделяющими переменными |
||
|
|
|
3. Найдите решение, удовлетворяющее начальному условию |
||
у(0)=2 |
у(0)=1 |
|
1,4, 7, 10, 13 варианты: |
2,5, 8, 11, 14варианты: |
3, 6, 9, 12, 15варианты: |
4. Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат. |
||
M(–2; 4) |
M(–1; 2) |
M(1;- 4) |
|
||
|
|
|
6. Проинтегрировать уравнения, пользуясь методом Эйлерана интервале [0 ; 1]. Во всех вариантах начальное условие: y(0) =0.25. Вычисления выполнять с четырьмя десятичными знаками и шагом h=0,1 |
||
|
|
|
