Контрольные вопросы:

в1. Провести исследование функций и построить графики:

в2. Провести исследование функций и построить графики:

в3. Провести исследование функций и построить графики:

в4. Провести исследование функций и построить графики.

в5. Провести исследование функций и построить графики:

в6. Провести исследование функций и построить графики:

в7. Провести исследование функций и построить графики:

В8. Провести исследование функций и построить графики:

В9. Провести исследование функций и построить графики:

В10. Провести исследование функций и построить графики:

В11. Провести исследование функций и построить графики:

В12. Провести исследование функций и построить графики:

В13. Провести исследование функций и построить графики:

В14. Провести исследование функций и построить графики:

В15. Провести исследование функций и построить графики:

Практическая работа №7

Тема: Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

Цель работы: уметь отделять корни уравнения графически и аналитически; уметь уточнять корни уравнения методом половинного деления, методом хорд, методом касательных ( Ньютона) и методом итераций.

Ход работы.

1). Повторить краткие теоретические сведения и разобрать задачи с решениями:

Графический способ отделения корней уравнения

Записываем уравнение в виде: и строим график правой и левой части.

_.

Пример: Отделить все действительные корни для уравнения : .

Решение.

Запишем уравнение в виде: .

Строим графики левой и правой частей уравнения на одном чертеже.

y = lgx

y = 4-x²

Аналитическое отделение корней уравнения

1. Находим производную

2. Находим критические точки

3. Находим знаки функции в критических точках

4. Знак предела

Количество перемен знака равно количеству корней.

Примеры:

1. Отделить все действительные корни для уравнения : .

Решение.

Пусть , тогда f’(x) =7x⁶-18x⁵

7x⁶-18x⁵=0

x⁵(7x-18) =0

x⁵=0 7x-18=0

x=0 и x= 2,6 - критические точки

2.. Отделить все действительные корни для уравнения :

.

Решение.

Отделим корни расчетным путем. Для этого:

1. Находим производную

2. Находим критические точки производной.

3. Находим знаки функции в критических точках

4. Знак пределов

Найдем производную функции :

.

Приравниваем производную 0: =0.

Решаем квадратное уравнение. . Т.к. D меньше 0, то действительных корней нет. Производная не имеет критических точек.

( )=

( )=-

Следовательно, уравнение имеет единственный корень. Найдем знак функции в точке : < 0, в точке x = 1: > 0.

Следовательно, корень уравнения находится на промежутке .

Метод половинного деления для решения уравнений

Дана функция f(x)=0, корень отделён на промежутке .

Требуется отделить корень с точностью .

Определяем знак

Выбираем тот конец, на котором значение функции имеет противоположный знак.

Определяем знак f(x₁) и т.д. Процесс заканчиваем, когда

Пример:

Ответ: -1;1

Метод касательных (Ньютона) для решения уравнений.

Дана функция f(x)=0, корень отделён на промежутке . На этом промежутке первая и вторая производные имеют постоянный знак.

Y

f’(x)>0;

f’’(x)<0

A

f(b)

f’(x)>0;

f’’(x)>0

f(a)

Случай 3:

f’(x)<0;

f ’’(x)<0

Формула такая же как во втором случае

Случай 4:

f’(x)<0;

f ’’(x)<0

Формула такая же как в случае 1

Мнемоническое правило.

В методе касательных за неподвижный конец принимаем тот, в котором знак функции совпадает со знаком второй производной.

Пример:

Критических точек нет.

a = -1 – подвижный конец

Ответ:

Метод хорд для решения уравнений

Дана функция f(x)=0, корень отделён на промежутке . На этом промежутке первая и вторая производные (f'(x) и f''(x)) имеют постоянный знак.

I. Случай (Знаки производных различны).

1. f'(x)>0, f''(x)<0

f(a)<0, f(b)>0

X

x_k –корень уравнения

2. f'(x)<0, f''(x)>0

Формулы те же самые.

Y

1. f'(x)>0, f''(x)>0

x_k –корень уравнения

2) f'(x)<0, f''(x)<0

Формула такая же как в случае, когда f'(x)>0, f''(x)>0

Мнемоническое правило.

В метоле хорд за неподвижный конец принимаем тот, в котором знак второй производной f''(x) совпадает со знаком функции.

Пример: Отделить корни и уточнить их методом хорд

f’>0

b=2 – неподвижный конец

Метод итераций для решения систем уравнений

Дана функция f(x)=0, корень отделён на промежутке . Из данного уравнения выразим x. Это всегда возможно, например:

или

Запишем уравнение в виде

Строим график левой и правой части и

За нулевое приближение выбираем любое число из промежутка _.

Находим

_{Находим погрешность:}

_{Если погрешность больше требуемой, то продолжаем процесс итерации:}

_{Находим погрешность:}

_{Если погрешность больше требуемой, то продолжаем процесс итерации: и т. д.}

_{Пока не получим , где}

_{- требуемая погрешность.}

метод касательных:

Ответ: -1;4

Условия сходимости итерационного процесса

Теорема «О сходимости итерационного процесса»

Итерационный процесс сходится независимо от выбора начального приближения x₀, если:

1) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a;b]

2) при

3) Существует такое число q<1, что при

Пусть

Итерационный процесс сходится, если функцию представить в виде , где k – максимальное значение производной на отрезке [a;b]

Пример:

Ответ: 3,51

2). Контрольные вопросы:

1) Способы отделения корней уравнения.

2) Способы уточнения корней уравнения.

3). Выполнить задания.

n – номер варианта

Задание 1.

Отделить корни уравнения графически:

Задание 2.

Отделить корни уравнения аналитически:

11 .

Задание 3.

Приближенно найти все корни уравнения с точностью

,

используя

а) метод половинного деления.

б) метод касательных.

в) метод хорд.

г) метод итераций.

Практическая работа №8

Тема: Методы вычисления неопределенного интеграла.

Цель работы: уметь вычислять неопределенные интегралы различными методами. Непосредственное интегрирование, замена переменных, внесение под знак дифференциала. Интегрирование по частям. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций.

Ход работы.

1). Повторить краткие теоретические сведения и разобрать задачи с решениями.

1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство

. (1)

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида , где .

Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием.

Таблица интегралов

2. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала части подинтегральной функции

При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .

Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

= +3 = .

Ответ: .

Иногда при интегрировании удобно использовать свойство дифференциала:

. (2)

Пример 2. Найти .

Решение. Согласно формуле (2) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: .

Инвариантность формул интегрирования позволяет применять при интегрировании подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции, основанное на следующей формуле:

. (3)

Пример 3. Найти .

Решение. Воспользуемся методом подведения под знак дифференциала, а также таблицей интегралов:

= = .

Ответ: .

3. Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Обычно за выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ; ; ;

– здесь за u принимают многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .

2) ; ;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .

4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов и , т.е. = . Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить , т.е. представить ее в виде суммы элементарных дробей видов:

,

где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. Если дробь неправильная ( ), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.

5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

(5)

Для нахождения интегралов вида , где R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), используют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и

6. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если и непрерывна на .

Пример 4. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона–Лейбница, получаем:

= .

Ответ: .

Примеры:

Задача 1. Найти неопределенные интегралы:

, , , .

В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

а) , б) .

Задача 3.

а) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ДСК линиями l₁: и l₂: . Сделать чертеж.

б) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ПСК линией l: . Сделать чертеж.

Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

l₁: и l₂: y = 6x. Сделать чертеж.

Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением , где . Сделать чертеж.

Решение задачи 1.

а) Так как , то используя формулу (3), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

следовательно, выполнено условие (1).

Ответ: .

б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: .

в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:

, отсюда

, или .

Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:

Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество «удобные» значения х (метод отдельных значений):

Из первого уравнения получим: . Почленно вычитая два последних равенства, получим: , и из последнего уравнения

.

Таким образом,

Переходим к интегрированию:

.

Здесь использовано: ,

.

Проверим результат дифференцированием:

.

Ответ: .

г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Возвращаясь к переменной х, получаем:

.

Ответ: .

2) Ответить на контрольные вопросы:

1. Первообразная и неопределенный интеграл.

2. Табличные интегралы.

3. Свойства неопределенного интеграла.

3) Выполнить задания.

Задача 1. Найти неопределенные интегралы (n-номер варианта):

, , , В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.

; ; ; ;

; ; .

Практическая работа 9

.

Тема: Приложения определенного интеграла.

Цель работы: уметь применять определенные интегралы для вычисления площади плоской фигуры, длины дуги кривой, объема тела вращения.

Ход работы.

1). По пособию Подольского В.А., Суходского А.М., Мироненко Е.С. «Сборник задач по математике» М.: Высш. шк., 2008 г. повторить теоретические сведения и разобрать задачи с решениями: гл.13§3-7

Контрольные вопросы:

1. Какая фигура называется криволинейной трапецией?

2. Чему равна площадь криволинейной трапеции в прямоугольных координатах?

3. Чему равна площадь криволинейной трапеции в полярных координатахкоординатах?

4. Как найти объем тела вращения?

2). Для закрепления теоретического материала и получения прочных знаний решить примеры по образцу.

1;16в. №№13.67; 13.82; 13.98

2;17в. №№ 13.68; 13.83; 13.99

3;18в. №№13.69; 13.84; 13.100

4;19в. №№13.70; 13.85; 13.101

5;20в. №№13.71; 13.86; 13.102

6;21в. №№13.72; 13.87; 13.103

7;22в. №№13.73; 13.88; 13.104

8;23в. №№13.74; 13.89; 13.105

9;24в. №№13.75; 13.90; 13.106

10;25в. №№13.76; 13.91; 13.107

11;26в. №№13.77; 13.92; 13.110

12-27в. №№13.78; 13.93; 13.111

13-28в. №№13.79; 13.94; 13.112

14;29в. №№13.80; 13.95; 13.113

15;30в. №№13.81; 13.97; 13.114

Практическая работа № 10

Тема: Методы вычисления неопределенного интеграла.

Цель работы: уметь вычислять интегралы по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона и находить погрешность полученных значений интеграла методом двойного пересчета.

Ход работы.

1). Повторить краткие теоретические сведения и разобрать задачи с решениями:

Постановка задачи численного интегрирования.

Требуется вычислить интеграл

Задача численного интегрирования - заменить криволинейную трапецию простой геометрической фигурой: прямоугольником, трапецией и др.

Формула прямоугольников

Левосторонняя формула прямоугольников:

Расстояние между соседними значениями х обозначается h и называется шагом

интегрирования.

Правосторонняя формула прямоугольников:

Пример:

Вычислить интеграл следующими способами:

1. Точно

2. По формуле левых прямоугольников

3. По формуле правых прямоугольников