Практическая работа 14
Тема: Дифференциальные уравнения второго и высших порядков.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка
Дифференциальным уравнением 2-го порядка называется уравнение вида
(14)
где х – независимая переменная, y(х) –
неизвестная функция этой переменной,
и
– ее первая и вторая производные.
Иногда уравнение 2-го порядка встречается в форме, разрешенной относительно второй производной,
Общее решение уравнения 2-го порядка имеет вид:
(15)
где С1 и С2 – две произвольные постоянные.
Решение, полученное в неявном виде
называется общим интегралом уравнения 2-го порядка.
Всякое решение, получающееся из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных С1 и С2, является его частным решением.
Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (14) состоит в нахождении частного решения уравнения, удовлетворяющего двум начальным условиям:
,
(16)
где
– заданные числа.
Для решения задачи Коши нужно подставить в общее решение (15) и его производную заданные начальные условия
,
решить полученную систему двух уравнений
относительно неизвестных С1 и С2 и
подставить найденные значения постоянных
в общее решение:
– решение задачи Коши.
Методы решения дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка
1.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие искомой функции.
Уравнение такого типа имеет вид:
. (17)
Отличительной особенностью этого
уравнения является то, что в него не
входит явно искомая функция у, а входят
только ее производные
и
.
Для решения уравнения (17) используется
способ подстановки. Вместо производной
введем новую неизвестную функцию
= z(x), тогда
.
Подставляя в (17) вместо
и
соответственно z и
,
получим дифференциальное уравнение
1-го порядка относительно новой неизвестной
функции z(x):
.
Определив тип этого уравнения и решив
его, следует записать его общее решение
в виде
,
а затем вернуться к функции у:
.
Полученное уравнение является
дифференциальным уравнением 1-го порядка.
Решая его, получаем общее решение
уравнения (17):
.
Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (17) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Пример 4. Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
Решение. Данное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение 2-го порядка, не содержащее явно у. Полагаем = z(x), , тогда уравнение примет вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение
1-го порядка относительно функции z(x).
Положим
Подставив z и
в уравнение, получим
,
или
(**)
Найдем функцию
решая уравнение
Из последнего уравнения получаем:
– общее решение, а при соответствующем
подборе
получаем
– частное решение уравнения
.
Подставим найденную функцию в уравнение (**) и найдем общее решение этого уравнения.
откуда получаем:
– общее решение уравнения
.
Запишем общее решение уравнения :
,
т.е.
Прежде чем интегрировать это уравнение,
целесообразно определить значение
постоянной С, используя начальное
условие
Подставив значение
в дифференциальное уравнение, получим:
Проинтегрируем:
.
Найдем значение постоянной С1, используя
начальное условие
Запишем частное решение исходного
дифференциального уравнения,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям:
.
Ответ: .
1.2. Дифференциальные уравнения 2-го порядка, не содержащие независимой переменной.
Уравнение такого типа имеет вид:
.
(18)
Отличительной особенностью этого уравнения является то, что в него не входит явно независимая переменная x.
Способ решения его состоит в следующем.
Примем переменную y за новую независимую
переменную, вместо неизвестной функции
y(х) введем новую неизвестную функцию
p(y) по формуле
= p(y). Тогда, пользуясь правилом
дифференцирования сложной функции,
получим
,
где
.
Подставляя в (18) выражения для
и
,
получим дифференциальное уравнение
1-го порядка относительно неизвестной
функции p(y):
Определив тип этого уравнения и решив
его, следует записать его общее решение
в виде
.
Так как p =
,
полученное выражение является
дифференциальным уравнением 1-го порядка
относительно искомой функции y(х):
.
Это уравнение с разделяющимися переменными, которое следует решать по обычной схеме (см. п.2.1).
Таким образом, решение уравнения 2-го порядка (18) сводится к последовательному решению двух дифференциальных уравнений 1-го порядка.