Пример решения задачи

Задача 4. Найти максимум линейной функции , если переменные удовлетворяют следующей системе ограничений:

.

В математических символах эта задача имеет следующий вид:

,

.

1. Запишем эту задачу в матричной форме. Для этого умножим первое и третье неравенство системы на –1. У нас получиться следующая система неравенств:

Следовательно, наша задача в матричной форме примет вид:

,

, ,

где

; ; ; (24)

2. Для построения канонической задачи введем дополнительные переменные и запишем систему ограничений задачи в виде

.

Окончательно, каноническая задача линейного программирования для нашей задачи имеет вид:

при ограничениях

. (25)

3

(III)

. Для того чтобы решить начальную задачу геометрически, построим прямые , ; , ; , ,.

и

D

отметим стрелочками те полуплоскости, в ко­то­рых выполняются со­от­вет­ствующие нера­вен­ства. Областью допу­сти­мых решений задачи ока­зался четырехугольник.

П

(I)

(II)

L

остроим прямую L: и будем ее передвигать в направ­лении вектора . Свое максималь­ное зна­че­ние на множест­ве функция примет в точке . Найдем ее ко­ординаты. Для этого решим систему уравнений: , .

Функция принимает свое максимальное на множестве значение равное в точке с координатами ; .

4. Если за базисные переменные канонической задачи (25) взять переменные , то соответствующий базисный план будет недопустим. Для построения начального плана введем искусственную переменную и составим вспомогательную задачу.

,

.

Составим симплекс-таблицу и применим симплекс метод. В таблицы включена также функция , а генеральные строки и столбцы таблиц заштрихованы.

	1	4*	-1	0	0	1	12	12/4
	3	2	0	1	0	0	26	–
	-1	2	0	0	1	0	10	10/2
	4	3	0	0	0	0	0
	1	4	-1	0	0	0	12
	1/4	1	– 1/4	0	0	1/4	3
	5/2	0	1/2	1	0	– 1/2	20
	-3/2	0	1/2	0	1	– 1/2	4
	13/4	0	3/4	0	0	– 3/4	-9
	0	0	0	0	0	– 1	0

Из этой таблицы мы находим допустимый базисный план канонической задачи:

, , , , .